Seja a função f:[0,+infty) R, dado por f(x)=x^2-x+1x+1. Calcule f(0), f(1 / 2) e f(raiz2-1).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma função definida por f(x) = x^2 - x + 1x + 1 para todo x maior ou igual a 0. Nosso objetivo é calcular o valor dessa função para três valores específicos de x : x = 0 , x = 12 e x = raiz2 - 1 . Para resolver isso, vamos substituir cada valor de x na função e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0) . Isso significa substituir x por 0 na função:
f(0) = 0^2 - 0 + 10 + 1 = 0 - 0 + 11 = 11 = 1
Então, f(0) = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular f(12) . Substituindo x por 12 :
f(12) = (12)^2 - 12 + 112 + 1
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
(12)^2 = 14;
14 - 12 + 1 = 14 - 24 + 44 = 34
Denominador:
12 + 1 = 12 + 22 = 32
Agora, colocando tudo junto:
f(12) = 3432 = 34 times 23 = 612 = 12
Então, f(12) = 12 .

Passo 4

Por último, vamos calcular f(raiz2 - 1) . Substituindo x por raiz2 - 1 :
f(raiz2 - 1) = (raiz2 - 1)^2 - (raiz2 - 1) + 1(raiz2 - 1) + 1
Vamos simplificar passo a passo.
Primeiro, calcular o quadrado de raiz2 - 1 :
(raiz2 - 1)^2 = (raiz2)^2 - 2 times raiz2 times 1 + 1^2 = 2 - 2raiz2 + 1 = 3 - 2raiz2
Agora, substituindo de volta:
Numerador:
3 - 2raiz2 - raiz2 + 1 = 4 - 3raiz2
Denominador:
raiz2 - 1 + 1 = raiz2
Então:
f(raiz2 - 1) = 4 - 3raiz2raiz2 = 4raiz2 - 3raiz2raiz2 = 4raiz2 - 3
Racionalizando 4raiz2 :
4raiz2 = 4raiz22 = 2raiz2
Portanto:
f(raiz2 - 1) = 2raiz2 - 3

Resposta

f(0) = 1, f(12) = 12, e f(raiz2 - 1) = 2raiz2 - 3

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