Demonstre matematicamente que o vetor v, qualquer que seja, vale que
|v times imath|^2+|v times jmath|^2+|v times k|^2=2|v|^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer vetor vec vin R^3, vale
|vec vtimesvecimath|^2 ;+; |vec vtimesvecjmath|^2 ;+; |vec vtimesvec k|^2 ;=; 2,|vec v|^2
O conteúdo que vamos usar inclui a definição de norma, produto vetorial, produto escalar e a identidade
|vec atimesvec b|^2 = |vec a|^2,|vec b|^2 - (vec acdotvec b)^2

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer vec a,vec bin R^3, vale a identidade do produto vetorial:
|vec atimesvec b|^2 = |vec a|^2,|vec b|^2 - (vec acdotvec b)^2
Em particular, se vec b é unitário ( |vec b|=1), isso reduz para
|vec atimesvec b|^2 = |vec a|^2 - (vec acdotvec b)^2

Passo 3

Como vecimath,vecjmath,vec k são vetores unitários padrão, aplicamos a fórmula acima para cada um deles:
|vec vtimesvecimath|^2 = |vec v|^2 - (vec vcdotvecimath)^2, |vec vtimesvecjmath|^2 = |vec v|^2 - (vec vcdotvecjmath)^2, |vec vtimes k|^2 = |vec v|^2 - (vec vcdot k)^2

Passo 4

Somando esses três resultados, obtemos
|vec vtimesvecimath|^2 + |vec vtimesvecjmath|^2 + |vec vtimes k|^2 &= l(|vec v|^2 - (vec vcdotvecimath)^2r) + l(|vec v|^2 - (vec vcdotvecjmath)^2r) + l(|vec v|^2 - (vec vcdot k)^2r) &= 3,|vec v|^2 ;-;l((vec vcdotvecimath)^2+(vec vcdotvecjmath)^2+(vec vcdot k)^2r)
Mas (vec vcdotvecimath)^2+(vec vcdotvecjmath)^2+(vec vcdot k)^2 = v1^2+v2^2+v3^2 = |vec v|^2. Então
|vec vtimesvecimath|^2 + |vec vtimesvecjmath|^2 + |vec vtimes k|^2 = 3,|vec v|^2 - |vec v|^2 = 2,|vec v|^2

Resposta

|vec vtimesvecimath|^2 + |vec vtimesvecjmath|^2 + |vec vtimes k|^2 = 2,|vec v|^2

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