Demonstre que, para matrizes invertíveis e , a propriedade
é válida. Em seguida, ilustre esta propriedade com um exemplo concreto utilizando matrizes .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se e são matrizes invertíveis, então a inversa do produto delas, ou seja, , é igual a . Além disso, precisamos dar um exemplo concreto usando matrizes . Vamos precisar entender o que é uma matriz invertível e como calcular a inversa de um produto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Isso é como dizer que “desfaz” a ação de .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que . Para isso, vamos multiplicar pela matriz e ver se obtemos a matriz identidade :
Sabemos que , então:
Fazendo a multiplicação na outra ordem:
Como multiplicar por em qualquer ordem dá a identidade, concluímos que é realmente a inversa de .
Passo 4
Agora, vamos ilustrar isso com um exemplo concreto usando matrizes . Vamos escolher:
Primeiro, vamos encontrar A^-1 e B^-1 .
Passo 5
Para encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2 , usamos a fórmula: