Demonstre que, para matrizes invertíveis A e B, a propriedade
(A B)^-1=B^-1 A^-1
é válida. Em seguida, ilustre esta propriedade com um exemplo concreto utilizando matrizes 2 times 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se A e B são matrizes invertíveis, então a inversa do produto delas, ou seja, (A B)^-1 , é igual a B^-1 A^-1 . Além disso, precisamos dar um exemplo concreto usando matrizes 2 times 2 . Vamos precisar entender o que é uma matriz invertível e como calcular a inversa de um produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz A é invertível se existe outra matriz A^-1 tal que:
A A^-1 = A^-1 A = I
onde I é a matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela. Isso é como dizer que A^-1 “desfaz” a ação de A .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que (A B)^-1 = B^-1 A^-1 . Para isso, vamos multiplicar A B pela matriz B^-1 A^-1 e ver se obtemos a matriz identidade I :
(A B)(B^-1 A^-1) = A (B B^-1) A^-1
Sabemos que B B^-1 = I , então:
A I A^-1 = A A^-1 = I
Fazendo a multiplicação na outra ordem:
(B^-1 A^-1)(A B) = B^-1 (A^-1 A) B = B^-1 I B = B^-1 B = I
Como multiplicar A B por B^-1 A^-1 em qualquer ordem dá a identidade, concluímos que B^-1 A^-1 é realmente a inversa de A B .

Passo 4

Agora, vamos ilustrar isso com um exemplo concreto usando matrizes 2 times 2 . Vamos escolher:
A = 1 & 2 3 & 4 , B = 2 & 0 1 & 2
Primeiro, vamos encontrar A^-1 e B^-1 .

Passo 5

Para encontrar a inversa de uma matriz 2 times 2 , usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
onde A = a & b c & d e det(A) = ad - bc .
Para A :
det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
Então,
A^-1 = 1-2 4 & -2 -3 & 1 = -2 & 1 1.5 & -0.5
Para B :
det(B) = (2)(2) - (0)(1) = 4 - 0 = 4
Então,
B^-1 = 14 2 & 0 -1 & 2 = 0.5 & 0 -0.25 & 0.5

Passo 6

Vamos agora calcular B^-1 A^-1 :
B^-1 A^-1 = 0.5 & 0 -0.25 & 0.5 -2 & 1 1.5 & -0.5
Fazendo a multiplicação:
B^-1 A^-1 = (0.5)(-2) + (0)(1.5) & (0.5)(1) + (0)(-0.5) (-0.25)(-2) + (0.5)(1.5) & (-0.25)(1) + (0.5)(-0.5) = -1 & 0.5 0.5 + 0.75 & -0.25 - 0.25 = -1 & 0.5 1.25 & -0.5

Passo 7

Por fim, vamos calcular (A B)^-1 diretamente para confirmar que é igual a B^-1 A^-1 . Primeiro, calculamos A B :
A B = 1 & 2 3 & 4 2 & 0 1 & 2 = (1)(2)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(2) (3)(2)+(4)(1) & (3)(0)+(4)(2) = 4 & 4 10 & 8
Agora, calculamos a inversa de A B :
det(A B) = (4)(8) - (4)(10) = 32 - 40 = -8
Então,
(A B)^-1 = 1-8 8 & -4 -10 & 4 = -1 & 0.5 1.25 & -0.5
Observamos que (A B)^-1 é igual a B^-1 A^-1 , conforme queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, demonstramos que (A B)^-1 = B^-1 A^-1 , e no exemplo concreto com matrizes 2 times 2 , as duas expressões resultaram na mesma matriz inversa.

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