Sabendo que
é uma matriz invertível, demonstre que
também é invertível e que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é invertível, ou seja, existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade. A tarefa é mostrar que essa matriz
também tem um inverso e que, de fato,
Passo 2
Lembrando a definição de matriz invertível: uma matriz
é invertível se existe
com
Esse
é o único inverso de
, e escrevemos
.
Passo 3
Como já sabemos que
é natural tentar ver se
serve de inverso para
. De fato, basta observar que
Ou seja,
satisfaz exatamente o papel de inversa de
.
Passo 4
Pelo que vimos, existe uma matriz (que é
) tal que
Logo, segundo a definição,
é invertível e seu inverso é
. Em notação,
Resposta
Fica demonstrado que
é invertível e que