Sabendo que R é uma matriz invertível, demonstre que R^-1 também é invertível e que (R^-1)^-1=R.

Passo 1

O enunciado diz que R é invertível, ou seja, existe uma matriz R^-1 tal que
R,R^-1 = R^-1R = I,
onde I é a matriz identidade. A tarefa é mostrar que essa matriz R^-1 também tem um inverso e que, de fato,
l(R^-1r)^-1 = R

Passo 2

Lembrando a definição de matriz invertível: uma matriz A é invertível se existe B com
A,B = B,A = I
Esse B é o único inverso de A, e escrevemos B = A^-1.

Passo 3

Como já sabemos que
R,R^-1 = I e R^-1R = I,
é natural tentar ver se R serve de inverso para R^-1. De fato, basta observar que
R^-1,R = I e R,R^-1 = I
Ou seja, R satisfaz exatamente o papel de inversa de R^-1.

Passo 4

Pelo que vimos, existe uma matriz (que é R) tal que
R^-1,R = R,R^-1 = I
Logo, segundo a definição, R^-1 é invertível e seu inverso é R. Em notação,
l(R^-1r)^-1 = R

Resposta

Fica demonstrado que R^-1 é invertível e que
l(R^-1r)^-1 = R

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