Sabendo que [,u, v, w]=3. Determine [2 w, v-u, u]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos diz que o produto escalar misto [,u, v, w,] = 3. Nosso objetivo é determinar o valor de [2 w, v - u, u]. Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar misto, que envolve determinantes e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a propriedade de linearidade do produto escalar misto em relação ao primeiro vetor. Isso significa que podemos distribuir a constante e subtrair os termos:
[2 w, v - u, u] = 2[w, v, u] - 2[w, u, u]

Passo 3

Observamos que [w, u, u] contém dois vetores iguais ( u e u). Sabemos que se dois vetores em um produto escalar misto são iguais, o resultado é zero. Portanto:
[w, u, u] = 0
Assim, a expressão fica:
[2 w, v - u, u] = 2[w, v, u] - 0 = 2[w, v, u]

Passo 4

Agora, precisamos relacionar [w, v, u] com o valor conhecido [,u, v, w,] = 3. Sabemos que trocar a ordem dos vetores no produto escalar misto pode alterar o sinal do resultado. Especificamente:
[w, v, u] = -[u, v, w] = -3

Passo 5

Substituindo esse valor na nossa expressão anterior:
[2 w, v - u, u] = 2 times (-3) = -6

Resposta

O valor de [2 w, v - u, u] é -6.

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