Demonstre que:
A série 1+x1!+x^22!+ldots+x^nn!+ldots converge uniformemente em qualquer intervalo finito.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar que a série 1 + x1! + x^22! + ldots + x^nn! + ldots converge de forma uniforme em qualquer intervalo finito. Esse lance aí tá relacionado a séries de funções e o conceito de convergência uniforme na matéria de Análise Matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série S(x) = sumn=0^infty x^nn!. Essa é a expansão em série de potências da função exponencial e^x.

Passo 3

Agora, para falar de convergência uniforme, precisamos lembrar que uma série de funções sumn=0^infty fn(x) converge uniformemente em um conjunto A se, para todo epsilon > 0, existe um número N tal que para todo n >= N e para todo x in A, a soma dos termos a partir de n é menor que epsilon. Em termos matemáticos:
forall epsilon > 0, exists N in N tal que forall n >= N, forall x in A, | sumk=n^infty fk(x) | < epsilon

Passo 4

Vamos usar o Teste de Weierstrass (ou Teste M) para provar a convergência uniforme. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência uniforme comparando os termos da série com uma outra série que já sabemos que converge.

Passo 5

Primeiro, escolhemos um intervalo finito qualquer. Vamos chamar esse intervalo de [-M, M], onde M > 0 é um número real.

Passo 6

Observamos que para qualquer x in [-M, M], temos:
| x^nn! | <= M^nn!
Isso porque |x| <= M, então elevar x a qualquer potência n e dividir por n! mantém a desigualdade.

Passo 7

Agora, consideramos a série comparativa sumn=0^infty M^nn!. Sabemos que essa série converge, pois é a expansão da função exponencial e^M.

Passo 8

Como sumn=0^infty M^nn! converge e cada termo da nossa série original sumn=0^infty x^nn! é menor ou igual em módulo ao termo correspondente da série comparativa, pelo Teste de Weierstrass, concluímos que a série original converge uniformemente no intervalo [-M, M].

Resposta

Portanto, mostramos que a série 1 + x1! + x^22! + ldots + x^nn! + ldots converge uniformemente em qualquer intervalo finito [-M, M].

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