Demonstre que:
A série converge uniformemente em qualquer intervalo finito.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para demonstrar que a série converge de forma uniforme em qualquer intervalo finito. Esse lance aí tá relacionado a séries de funções e o conceito de convergência uniforme na matéria de Análise Matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série . Essa é a expansão em série de potências da função exponencial .
Passo 3
Agora, para falar de convergência uniforme, precisamos lembrar que uma série de funções converge uniformemente em um conjunto se, para todo , existe um número tal que para todo e para todo , a soma dos termos a partir de é menor que . Em termos matemáticos:
Passo 4
Vamos usar o Teste de Weierstrass (ou Teste M) para provar a convergência uniforme. Esse teste nos ajuda a verificar a convergência uniforme comparando os termos da série com uma outra série que já sabemos que converge.
Passo 5
Primeiro, escolhemos um intervalo finito qualquer. Vamos chamar esse intervalo de [-M, M], onde M > 0 é um número real.
Passo 6
Observamos que para qualquer x in [-M, M], temos:
| x^nn! | <= M^nn!
Isso porque |x| <= M, então elevar x a qualquer potência n e dividir por n! mantém a desigualdade.
Passo 7
Agora, consideramos a série comparativa sumn=0^infty M^nn!. Sabemos que essa série converge, pois é a expansão da função exponencial e^M.
Passo 8
Como sumn=0^infty M^nn! converge e cada termo da nossa série original sumn=0^infty x^nn! é menor ou igual em módulo ao termo correspondente da série comparativa, pelo Teste de Weierstrass, concluímos que a série original converge uniformemente no intervalo [-M, M].
Resposta
Portanto, mostramos que a série 1 + x1! + x^22! + ldots + x^nn! + ldots converge uniformemente em qualquer intervalo finito [-M, M].