Demonstre que a norma em qualquer espaço com produto interno satisfaz os seguintes axiomas. Observações: Para o item (ii), lembre que para todo . Para o item (iii) lembre que se , então e são as partes real e imaginária de , respectivamente. Logo, e como a desigualdade de Cauchy-Schwarz tem como conseqüência a desigualdade (prove!) . A propriedade (iii) é chamada desigualdade triangular. e , se e somente se .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno, a norma definida por satisfaz os três axiomas de norma: (i) positividade e definitude, (ii) homogeneidade , e (iii) desigualdade triangular . Vamos usar as propriedades do produto interno, a relação em e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Para (i), como o produto interno satisfaz e se e somente se , temos
e .
Passo 3
Para (ii), usando linearidade no primeiro fator e conjugação no segundo, e a identidade , calculamos