Demonstre que a norma em qualquer espaço com produto interno satisfaz os seguintes axiomas. Observações: Para o item (ii), lembre que z barz=|z|^2 para todo z in C. Para o item (iii) lembre que se z=a+b i in C, então a=Re(z) e b=Im(z) são as partes real e imaginária de z, respectivamente. Logo, z+barz=2 Re(z) e como |z|^2=a^2+b^2 a desigualdade de Cauchy-Schwarz tem como conseqüência a desigualdade (prove!) Re(lang<= u, vrang<=) <=||u||||v||. A propriedade (iii) é chamada desigualdade triangular.
||v|| >= 0 ; e ||v||=0, se e somente se v=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno, a norma definida por |v|=raizlang<= v,vrang<= satisfaz os três axiomas de norma: (i) positividade e definitude, (ii) homogeneidade |alpha v|=|alpha|,|v|, e (iii) desigualdade triangular |u+v|<=|u|+|v|. Vamos usar as propriedades do produto interno, a relação zbar z=|z|^2 em C e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Para (i), como o produto interno satisfaz lang<= v,vrang<=>=0 e lang<= v,vrang<==0 se e somente se v=0, temos
|v|=raizlang<= v,vrang<=>=0,
e |v|=0ifflang<= v,vrang<==0iff v=0.

Passo 3

Para (ii), usando linearidade no primeiro fator e conjugação no segundo, e a identidade alphaoverlinealpha=|alpha|^2, calculamos
|alpha v|=raizlang<=alpha v,alpha vrang<= =raizalpha,alpha,lang<= v,vrang<= =raiz|alpha|^2,lang<= v,vrang<= =|alpha|,raizlang<= v,vrang<= =|alpha|,|v|

Passo 4

Para (iii), primeiro expandimos |u+v|^2:
|u+v|^2=lang<= u+v, u+vrang<= =lang<= u,urang<=+lang<= u,vrang<=+lang<= v,urang<=+lang<= v,vrang<= =|u|^2+2,Relang<= u,vrang<=+|v|^2
Pela consequência da desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
|u+v|^2<=|u|^2+2|u|,|v|+|v|^2=(|u|+|v|)^2 ,
logo
Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos

Resposta

Concluímos que a norma |v|=raizlang<= v,vrang<= satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular, logo é de fato uma norma.

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