Sejam F1, F2 subespaços vetoriais de E e considere as afirmações a seguir:
(1) A reunião F1 cup F2 é um subespaço vetorial.
(2) A intersecção F1 cap F2 é um subespaço vetorial.
Estas afirmações são verdadeiras?

Passo 1

Aqui o enunciado pergunta sobre subespaços vetoriais: dadas duas coleções F₁ e F₂ que são subespaços de E, queremos saber se a união F₁ ∪ F₂ e a interseção F₁ ∩ F₂ também são subespaços. Vamos usar a definição: para ser subespaço, um conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Para (1), a união F₁ ∪ F₂ em geral não fecha sob soma. Um contraexemplo clássico é em E = ℝ² tomar
F₁ = span{(1,0)} e F₂ = span{(0,1)}. Então (1,0) ∈ F₁ ∪ F₂ e (0,1) ∈ F₁ ∪ F₂, mas
(1,0) + (0,1) = (1,1) não pertence nem a F₁ nem a F₂, logo não pertence à união. Assim F₁ ∪ F₂ não satisfaz fechamento sob soma e não é subespaço, em geral.

Passo 3

Para (2), a interseção F₁ ∩ F₂ herda as propriedades de ambos. Se v e w estão em F₁ ∩ F₂, então v e w estão em F₁ e em F₂; como cada Fᵢ é subespaço, v + w está em F₁ e em F₂, ou seja, na interseção. De modo similar, para qualquer escalar α temos αv em F₁ e em F₂. Além disso o zero está em ambas, logo está na interseção. Assim F₁ ∩ F₂ é sempre subespaço vetorial.

Passo 4

Portanto, concluímos que a afirmação (1) é falsa em geral, enquanto a afirmação (2) é verdadeira.

Resposta

(1) Falso; (2) Verdadeiro.

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