Sejam
subespaços vetoriais de
e considere as afirmações a seguir:
(1) A reunião
é um subespaço vetorial.
(2) A intersecção
é um subespaço vetorial.
Estas afirmações são verdadeiras?
(1) A reunião
(2) A intersecção
Passo 1
Aqui o enunciado pergunta sobre subespaços vetoriais: dadas duas coleções F₁ e F₂ que são subespaços de E, queremos saber se a união F₁ ∪ F₂ e a interseção F₁ ∩ F₂ também são subespaços. Vamos usar a definição: para ser subespaço, um conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Para (1), a união F₁ ∪ F₂ em geral não fecha sob soma. Um contraexemplo clássico é em E = ℝ² tomar
F₁ = span{(1,0)} e F₂ = span{(0,1)}. Então (1,0) ∈ F₁ ∪ F₂ e (0,1) ∈ F₁ ∪ F₂, mas
(1,0) + (0,1) = (1,1) não pertence nem a F₁ nem a F₂, logo não pertence à união. Assim F₁ ∪ F₂ não satisfaz fechamento sob soma e não é subespaço, em geral.
F₁ = span{(1,0)} e F₂ = span{(0,1)}. Então (1,0) ∈ F₁ ∪ F₂ e (0,1) ∈ F₁ ∪ F₂, mas
(1,0) + (0,1) = (1,1) não pertence nem a F₁ nem a F₂, logo não pertence à união. Assim F₁ ∪ F₂ não satisfaz fechamento sob soma e não é subespaço, em geral.
Passo 3
Para (2), a interseção F₁ ∩ F₂ herda as propriedades de ambos. Se v e w estão em F₁ ∩ F₂, então v e w estão em F₁ e em F₂; como cada Fᵢ é subespaço, v + w está em F₁ e em F₂, ou seja, na interseção. De modo similar, para qualquer escalar α temos αv em F₁ e em F₂. Além disso o zero está em ambas, logo está na interseção. Assim F₁ ∩ F₂ é sempre subespaço vetorial.
Passo 4
Portanto, concluímos que a afirmação (1) é falsa em geral, enquanto a afirmação (2) é verdadeira.
Resposta
(1) Falso; (2) Verdadeiro.