Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais
abaixo:
;
Passo 1
O exercício pede para achar um conjunto de vetores que gere o subespaço definido pela equação
. O conteúdo principal aqui é subespaço definido por equação linear homogênea e vamos usar parametrização para encontrar um gerador.
Passo 2
Como uma equação homogênea em duas variáveis,
define uma reta que passa pela origem em . Pelo teorema de subespaços, essa reta é de dimensão 1 (desde que
), então basta encontrar um vetor não nulo que satisfaça a equação.
Passo 3
Para o caso genérico
, escolhemos um parâmetro e escrevemos
. Da equação segue
caso
. Logo
Podemos eliminar frações multiplicando o gerador por
, obtendo o vetor
. Esse vetor satisfaz
, então
Passo 4
Note que se
mas
, então a equação vira
e obtemos
. O mesmo resultado aparece em
, já que nesse caso
e
.
Passo 5
Se
, a equação
é trivial e , que é gerado pelos vetores
e
.
Resposta
Se
, então
Se
, então