Encontre um conjunto de geradores para cada um dos subespaços vetoriais F subset E abaixo:
E=R^2, F=(x, y): alpha x+beta y=0, alpha, beta in R;

Passo 1

O exercício pede para achar um conjunto de vetores que gere o subespaço definido pela equação FsubsetR^2. O conteúdo principal aqui é subespaço definido por equação linear homogênea e vamos usar parametrização para encontrar um gerador.

Passo 2

Como uma equação homogênea em duas variáveis, alpha x + beta y = 0 define uma reta que passa pela origem em . Pelo teorema de subespaços, essa reta é de dimensão 1 (desde que R^2), então basta encontrar um vetor não nulo que satisfaça a equação.

Passo 3

Para o caso genérico (alpha,beta)neq(0,0), escolhemos um parâmetro e escrevemos tinR. Da equação segue
x = t
caso alpha t + beta y = 0 Longrightarrow y = -alphabeta,t,. Logo
betaneq0
Podemos eliminar frações multiplicando o gerador por (x,y) = l(t, -tfracalphabetatr) = tl(1,-tfracalphabetar), obtendo o vetor beta. Esse vetor satisfaz (beta,-alpha), então
alphacdotbeta + betacdot(-alpha)=0

Passo 4

Note que se beta=0 mas alphaneq0, então a equação vira alpha x=0implies x=0 e obtemos F=span(0,1). O mesmo resultado aparece em (beta,-alpha), já que nesse caso (beta,-alpha)=(0,-alpha) e span(0,-alpha)=span(0,1).

Passo 5

Se (alpha,beta)=(0,0), a equação 0=0 é trivial e , que é gerado pelos vetores F=R^2 e (1,0).

Resposta

Se (alpha,beta)neq(0,0), então
F=span(beta,-alpha)
Se (alpha,beta)=(0,0), então

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