Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno
. Mostre que:
se
para todo
, então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço com produto interno, o único vetor orthogonal a todos os vetores é o vetor zero. Vamos usar a propriedade de positividade definida do produto interno, que diz que para todo vetor
vale
e que a igualdade só ocorre se
.
Passo 2
Como a hipótese diz que
para todo
, podemos escolher
. Assim obtemos
Passo 3
Passo 4
Pela positividade do produto interno,
implica necessariamente que
. Portanto chegamos à conclusão desejada.
Resposta
u = 0