Seja V um espaço vetorial sobre K com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Mostre que:
se lang<= u, vrang<==0 para todo v in V, então u=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço com produto interno, o único vetor orthogonal a todos os vetores é o vetor zero. Vamos usar a propriedade de positividade definida do produto interno, que diz que para todo vetor w vale lang<= w,wrang<=>=0 e que a igualdade só ocorre se w=0.

Passo 2

Como a hipótese diz que lang<= u,vrang<==0 para todo vin V, podemos escolher v=u. Assim obtemos

Passo 3

lang<= u,urang<= = 0

Passo 4

Pela positividade do produto interno, lang<= u,urang<==0 implica necessariamente que u=0. Portanto chegamos à conclusão desejada.

Resposta

u = 0

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