Demonstre que |11\rangle e |1-1\rangle (Equação 4.177) são autoestados de S^{2} com o autovalor adequado.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dados.
  • Quer-se demonstrar que |1\,1\rangle e |1,-1\rangle (a notação da Equação 4.177) são autovetores do operador \mathbf{S}^2 (o quadrado do momento angular total) e encontrar os autovalores correspondentes.
  • Vou usar a situação padrão de dois spins 1/2. Nessa base:
    • |1\,1\rangle corresponde a |+\!+\rangle, isto é, ambos os spins com m=+1/2.
    • |1,-1\rangle corresponde a |-\!-\rangle, ambos com m=-1/2.
  • Definições que serão usadas (tudo que vai aparecer em contas):
    • \mathbf{S}=\mathbf{S}_1+\mathbf{S}_2 é o momento angular total.
    • \mathbf{S}^2=\mathbf{S}_1^2+\mathbf{S}_2^2+2\,\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2.
    • Para cada spin 1/2 vale \mathbf{S}_i^2 = s_i(s_i+1)\hbar^2 = \tfrac{3}{4}\hbar^2 com s_i=\tfrac{1}{2}.
    • Produto escalar expandido: \displaystyle \mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2 = S_{1z}S_{2z} + \tfrac{1}{2}\bigl(S_{1+}S_{2-}+S_{1-}S_{2+}\bigr).
    • Ação das operações escalonantes para spin 1/2: S_{+}|+\rangle=0,\qquad S_{-}|-\rangle=0,\qquad S_{-}|+\rangle=\hbar\,|-\rangle,\qquad S_{+}|-\rangle=\hbar\,|+\rangle.

Passo 2

Calcular \mathbf{S}_1^2 e \mathbf{S}_2^2 sobre |+\!+\rangle.
  • Cada operador \mathbf{S}_i^2 age apenas no spin i e, para spin 1/2, \mathbf{S}_i^2| \pm \rangle_i = \tfrac{3}{4}\hbar^2\,| \pm \rangle_i.
  • Assim, no estado produto |+\!+\rangle temos \mathbf{S}_1^2|+\!+\rangle = \tfrac{3}{4}\hbar^2\,|+\!+\rangle, \qquad \mathbf{S}_2^2|+\!+\rangle = \tfrac{3}{4}\hbar^2\,|+\!+\rangle.

Passo 3

Calcular \mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2 agindo sobre |+\!+\rangle.
  • Usando a expansão, \mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2 = S_{1z}S_{2z} + \tfrac{1}{2}\bigl(S_{1+}S_{2-}+S_{1-}S_{2+}\bigr).
  • Ação do primeiro termo: S_{1z}S_{2z}|+\!+\rangle = \bigl(\tfrac{\hbar}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{\hbar}{2}\bigr)|+\!+\rangle = \tfrac{\hbar^2}{4}\,|+\!+\rangle.(peguei os autovalores \pm \tfrac{\hbar}{2} dos operadores S_{iz} para o estado |\pm\rangle.)
  • Ação dos termos com escalares:
    • S_{1+}S_{2-}|+\!+\rangle: primeiro S_{2-}|+\rangle_2=\hbar|-\rangle_2, mas então S_{1+}|+\rangle_1=0. Logo o produto dá 0.
    • S_{1-}S_{2+}|+\!+\rangle: primeiro S_{2+}|+\rangle_2=0, logo o produto dá 0.
  • Portanto \mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2\,|+\!+\rangle = \tfrac{\hbar^2}{4}\,|+\!+\rangle.

Passo 4

Juntar tudo para \mathbf{S}^2 agindo sobre |+\!+\rangle.
  • Pela fórmula \mathbf{S}^2 = \mathbf{S}_1^2+\mathbf{S}_2^2+2\,\mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2,ao atuar sobre |+\!+\rangle obtemos o autovalor \left(\tfrac{3}{4}\hbar^2\right) + \left(\tfrac{3}{4}\hbar^2\right) + 2\left(\tfrac{\hbar^2}{4}\right) = 2\hbar^2.
  • Logo \mathbf{S}^2|+\!+\rangle = 2\hbar^2\,|+\!+\rangle.
  • Como 2\hbar^2=\hbar^2 s(s+1) com s=1, concluímos que |+\!+\rangle é o estado |1\,1\rangle do multiplete com s=1.

Passo 5

Fazer o mesmo para |-\!-\rangle (o estado |1,-1\rangle).
  • Para |-\!-\rangle temos S_{iz}|-\rangle_i=-\tfrac{\hbar}{2}|-\rangle_i. Então S_{1z}S_{2z}|-\!-\rangle = \bigl(-\tfrac{\hbar}{2}\bigr)\bigl(-\tfrac{\hbar}{2}\bigr)|-\!-\rangle = \tfrac{\hbar^2}{4}|-\!-\rangle.
  • Os termos escalares com S_{1+}S_{2-} e S_{1-}S_{2+} também dão zero agora:
    • S_{1-}S_{2+}|-\!-\rangle tem S_{2+}|-\rangle_2=\hbar|+\rangle_2 mas então S_{1-}|-\rangle_1=0, produto zero.
    • S_{1+}S_{2-}|-\!-\rangle tem S_{2-}|-\rangle_2=0, produto zero.
  • Logo \mathbf{S}_1\cdot\mathbf{S}_2|-\!-\rangle=\tfrac{\hbar^2}{4}|-\!-\rangle.
  • Somando como antes, \mathbf{S}^2|-\!-\rangle = \Bigl(\tfrac{3}{4}\hbar^2+\tfrac{3}{4}\hbar^2+2\cdot\tfrac{\hbar^2}{4}\Bigr)|-\!-\rangle = 2\hbar^2|-\!-\rangle.

Passo 6

Interpretação final e conexão com a teoria.
  • Em ambos os casos obtivemos o mesmo autovalor 2\hbar^2.
  • Isso corresponde ao valor \hbar^2 s(s+1) com s=1 (pois 1\cdot2=2).
  • Portanto |1\,1\rangle e |1,-1\rangle são autovetores de \mathbf{S}^2 com autovalor \hbar^2\cdot 1(1+1)=2\hbar^2.

Resposta

\mathbf{S}^2|1\,1\rangle = 2\hbar^2\,|1\,1\rangle
\mathbf{S}^2|1,-1\rangle = 2\hbar^2\,|1,-1\rangle

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