Demonstre que
e
(Equação 4.177) são autoestados de
com o autovalor adequado.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dados.
- Quer-se demonstrar que
e (a notação da Equação 4.177) são autovetores do operador (o quadrado do momento angular total) e encontrar os autovalores correspondentes. - Vou usar a situação padrão de dois spins
. Nessa base: -
corresponde a , isto é, ambos os spins com . -
corresponde a , ambos com .
-
- Definições que serão usadas (tudo que vai aparecer em contas):
-
é o momento angular total. -
. - Para cada spin
vale com . - Produto escalar expandido:
. - Ação das operações escalonantes para spin
:
-
Passo 2
Calcular
e
sobre
.
- Cada operador
age apenas no spin e, para spin , - Assim, no estado produto
temos
Passo 3
Calcular
agindo sobre
.
- Usando a expansão,
- Ação do primeiro termo:
(peguei os autovalores dos operadores para o estado .) - Ação dos termos com escalares:
-
: primeiro , mas então . Logo o produto dá . -
: primeiro , logo o produto dá .
-
- Portanto
Passo 4
Juntar tudo para
agindo sobre
.
- Pela fórmula
ao atuar sobre obtemos o autovalor - Logo
- Como
com , concluímos que é o estado do multiplete com .
Passo 5
Fazer o mesmo para
(o estado
).
- Para
temos . Então - Os termos escalares com
e também dão zero agora: -
tem mas então , produto zero. -
tem , produto zero.
-
- Logo
. - Somando como antes,
Passo 6
Interpretação final e conexão com a teoria.
- Em ambos os casos obtivemos o mesmo autovalor
. - Isso corresponde ao valor
com (pois ). - Portanto
e são autovetores de com autovalor .