É possível construir um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com doze faces, sendo sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares? Justifique.
4.14. Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine o(\mathrm{~s}) número(s) de:
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.

Geometria Espacial - VERSIO PRELIMINAR

c) Vértices e arestas, dado que o poliedro possui apenas seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais.
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
f) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem apenas três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
g) Vértices, arestas e faces, dado que o poliedro é formado por cinco ângulos triedros, sete ångulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
  • Pergunta inicial: “É possível construir um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com doze faces, sendo sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares?” Dados: sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares, total de doze faces.
  • Exercício 4.14, pedidos:
    a) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem onze faces, sendo seis triangulares e cinco quadrangulares.
    b) Determinar arestas e faces, sabendo que o poliedro tem onze vértices e possui apenas faces triangulares, quadrangulares e uma única face pentagonal, e que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares.
    c) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro possui apenas seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais.
    d) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem quinze faces; em dois vértices partem cinco arestas cada, em quatro vértices partem quatro arestas cada, e em todos os demais vértices partem três arestas cada.
    e) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
    f) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem apenas três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
    g) Determinar vértices, arestas e faces, sabendo que o poliedro é formado por cinco ângulos triedros (vértices onde se encontram 3 faces), sete ângulos tetraédricos (4 faces), nove ângulos pentaédricos (5 faces) e oito ângulos hexaédricos (6 faces).

Passo 2

Explicar as fórmulas que vamos usar (sem assumir que já sabe). São duas ideias-chave:
  1. Fórmula de Euler para poliedros convexos (e para poliedros que satisfaçam as hipóteses usuais):
V - E + F = 2,
onde \,V é o número de vértices, \,E o número de arestas e \,F o número de faces.
  1. Relação entre arestas e faces (contagem dupla): se uma face tem k lados, ela contribui com k à soma total dos lados das faces; cada aresta pertence a exatamente duas faces, portanto somando os números de lados de todas as faces obtemos duas vezes o número de arestas. Em fórmula:
2E = \sum_{\text{faces}} (\text{número de lados da face}).ú
Isso é muito útil: sabendo quantas faces de cada tipo (triângulos, quadriláteros, etc.) temos, podemos calcular \,2E e daí \,E.
Estratégia prática que usarei sempre:
  • Calcular \,2E a partir das faces com a fórmula acima.
  • Obter \,E (se for inteiro). Em seguida usar Euler para obter \,V por
V = 2 - F + E.
  • Se o dado for o número de vértices e pedem faces/arestas, uso Euler e a relação das faces para montar equações e resolver.
Observação rápida: os números finais \,E e \,V têm de ser inteiros não-negativos; se algo der não inteiro ou negativo, há contradição (não existe poliedro com os dados).

Passo 3

Identifico os dados: \,F=12, com \,7 faces triangulares (cada uma com 3 lados) e \,5 faces quadrangulares (cada uma com 4 lados).
Calculo \,2E pela soma dos lados das faces:
2E = 7\cdot 3 + 5\cdot 4 = 21 + 20 = 41.
Logo \,2E = 41 implica
E = \frac{41}{2} = 20{,}5.
Mas \,E tem de ser um número inteiro (número de arestas). Como obtemos um valor não inteiro, é impossível que exista um poliedro com esses dados que satisfaça as hipóteses da fórmula de Euler. Portanto não é possível construir tal poliedro. (A contradição vem da contagem dupla das arestas pelas faces: a soma dos lados das faces tem de ser par.)

Passo 4

Dados: \,F=11 com \,6 faces triangulares e \,5 faces quadrangulares.
Calculo \,2E:
2E = 6\cdot 3 + 5\cdot 4 = 18 + 20 = 38.
Assim \,E = \dfrac{38}{2} = 19.
Agora uso Euler para achar \,V:
V = 2 - F + E = 2 - 11 + 19 = 10.
Resultado: \,V=10 e \,E=19.

Passo 5

Dados: \,V=11. Faces são apenas triangulares, quadrangulares e uma pentagonal; número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
Seja \,t o número de faces triangulares, \,q o número de faces quadrangulares e haja exatamente \,1 face pentagonal. O enunciado diz \,t = q. Então o número total de faces é
F = t + q + 1 = 2t + 1.
A relação das arestas pelas faces dá
2E = 3t + 4q + 5\cdot 1.
Como q=t, isso é
2E = 3t + 4t + 5 = 7t + 5.
Euler com \,V=11
11 - E + F = 2 \quad\Rightarrow\quad E = 11 + F - 2 = 9 + F.
Substituindo F = 2t+1,
E = 9 + 2t + 1 = 10 + 2t.
Agora uso isso em 2E = 7t + 5:
2(10 + 2t) = 7t + 5 \quad\Rightarrow\quad 20 + 4t = 7t + 5.
Isolando t:
20 - 5 = 7t - 4t \quad\Rightarrow\quad 15 = 3t \quad\Rightarrow\quad t = 5.
Logo q = 5, e a face pentagonal é 1, dando
F = 2t + 1 = 11.
E \,E = 10 + 2t = 10 + 10 = 20.
Resultado: \,E=20 e \,F=11 (com 5 triângulos, 5 quadriláteros e 1 pentágono).

Passo 6

Dados: somente faces: \,6 triangulares, \,5 quadrangulares, \,4 pentagonais e \,2 hexagonais.
Total de faces:
F = 6 + 5 + 4 + 2 = 17.
Soma dos lados das faces:
2E = 6\cdot 3 + 5\cdot 4 + 4\cdot 5 + 2\cdot 6 = 18 + 20 + 20 + 12 = 70.
Logo \,E = 35.
Usando Euler:
V = 2 - F + E = 2 - 17 + 35 = 20.
Resultado: \,V=20 e \,E=35.

Passo 7

Dados: \,F=15. Informação sobre vértices: existem 2 vértices onde partem 5 arestas cada (grau 5), 4 vértices com grau 4, e os restantes vértices têm grau 3. Precisamos achar \,V e \,E.
Seja \,V o número total de vértices. Soma das valências (graus) dos vértices:
\text{soma dos graus} = 2\cdot 5 + 4\cdot 4 + (V-6)\cdot 3,
pois já contamos os 2 e os 4 vértices especiais, restando V-6 vértices de grau 3.
Compute:
\text{soma dos graus} = 10 + 16 + 3V - 18 = 3V + 8.
Mas soma dos graus é 2E. Portanto
2E = 3V + 8.
Euler com F=15
V - E + 15 = 2 \quad\Rightarrow\quad E = V + 13.
Substituo em 2E = 3V + 8:
2(V+13) = 3V + 8 \quad\Rightarrow\quad 2V + 26 = 3V + 8.
Isolando V:
26 - 8 = 3V - 2V \quad\Rightarrow\quad 18 = V.
Logo V = 18 e então
E = V + 13 = 31.
Resultado: \,V=18 e \,E=31.

Passo 8

Dados: \,80 faces triangulares e \,12 faces pentagonais.
Total de faces:
F = 80 + 12 = 92.
Soma dos lados das faces:
2E = 80\cdot 3 + 12\cdot 5 = 240 + 60 = 300,
portanto \,E = 150.
Usando Euler:
V = 2 - F + E = 2 - 92 + 150 = 60.
Resultado: \,V=60 e \,E=150.

Passo 9

Dados: \,3 faces triangulares, \,1 quadrangular, \,1 pentagonal e \,2 hexagonais.
Total de faces:
F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7.
Soma dos lados:
2E = 3\cdot 3 + 1\cdot 4 + 1\cdot 5 + 2\cdot 6 = 9 + 4 + 5 + 12 = 30,
então \,E = 15.
Euler:
V = 2 - F + E = 2 - 7 + 15 = 10.
Resultado: \,V=10 e \,E=15.

Passo 10

Dados: vértices categorizados por quantas faces se encontram em cada vértice:
  • 5 vértices com 3 faces (grau 3),
  • 7 vértices com 4 faces (grau 4),
  • 9 vértices com 5 faces (grau 5),
  • 8 vértices com 6 faces (grau 6).
Compute o número total de vértices:
V = 5 + 7 + 9 + 8 = 29.
Soma das valências:
\text{soma dos graus} = 5\cdot 3 + 7\cdot 4 + 9\cdot 5 + 8\cdot 6 = 15 + 28 + 45 + 48 = 136.
Como soma dos graus = 2E, temos
2E = 136 \quad\Rightarrow\quad E = 68.
Por Euler, o número de faces é
F = 2 - V + E = 2 - 29 + 68 = 41.
Resultado: \,V=29, \,E=68, \,F=41.

Resposta

Não, não é possível — a soma dos lados das faces seria 41, o que daria \,E=20{,}5 (impossível).\n
a) V=10,\\ E=19\n
b) E=20,\\ F=11 (com 5 triângulos, 5 quadriláteros e 1 pentágono)\n
c) V=20,\\ E=35\n
d) V=18,\\ E=31\n
e) V=60,\\ E=150\n
f) V=10,\\ E=15\n
g) V=29,\\ E=68,\\ F=41

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