É possível construir um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com doze faces, sendo sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares? Justifique.
4.14. Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
número(s) de:
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
Geometria Espacial - VERSIO PRELIMINAR
c) Vértices e arestas, dado que o poliedro possui apenas seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais.
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
f) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem apenas três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
g) Vértices, arestas e faces, dado que o poliedro é formado por cinco ângulos triedros, sete ångulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
4.14. Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.
e) Vértices e arestas, dado que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
f) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem apenas três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
g) Vértices, arestas e faces, dado que o poliedro é formado por cinco ângulos triedros, sete ångulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda).
-
Pergunta inicial: “É possível construir um poliedro satisfazendo a fórmula de Euler com doze faces, sendo sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares?” Dados: sete faces triangulares e cinco faces quadrangulares, total de doze faces.
-
Exercício 4.14, pedidos:
a) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem onze faces, sendo seis triangulares e cinco quadrangulares.
b) Determinar arestas e faces, sabendo que o poliedro tem onze vértices e possui apenas faces triangulares, quadrangulares e uma única face pentagonal, e que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares.
c) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro possui apenas seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais.
d) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem quinze faces; em dois vértices partem cinco arestas cada, em quatro vértices partem quatro arestas cada, e em todos os demais vértices partem três arestas cada.
e) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro é formado por oitenta faces triangulares e doze faces pentagonais.
f) Determinar vértices e arestas, sabendo que o poliedro tem apenas três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.
g) Determinar vértices, arestas e faces, sabendo que o poliedro é formado por cinco ângulos triedros (vértices onde se encontram 3 faces), sete ângulos tetraédricos (4 faces), nove ângulos pentaédricos (5 faces) e oito ângulos hexaédricos (6 faces).
Passo 2
Explicar as fórmulas que vamos usar (sem assumir que já sabe). São duas ideias-chave:
- Fórmula de Euler para poliedros convexos (e para poliedros que satisfaçam as hipóteses usuais):
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces.
- Relação entre arestas e faces (contagem dupla): se uma face tem
lados, ela contribui com à soma total dos lados das faces; cada aresta pertence a exatamente duas faces, portanto somando os números de lados de todas as faces obtemos duas vezes o número de arestas. Em fórmula:
Isso é muito útil: sabendo quantas faces de cada tipo (triângulos, quadriláteros, etc.) temos, podemos calcular
e daí
.
Estratégia prática que usarei sempre:
- Calcular
a partir das faces com a fórmula acima. - Obter
(se for inteiro). Em seguida usar Euler para obter por
- Se o dado for o número de vértices e pedem faces/arestas, uso Euler e a relação das faces para montar equações e resolver.
Observação rápida: os números finais
e
têm de ser inteiros não-negativos; se algo der não inteiro ou negativo, há contradição (não existe poliedro com os dados).
Passo 3
Identifico os dados:
, com
faces triangulares (cada uma com
lados) e
faces quadrangulares (cada uma com
lados).
Calculo
pela soma dos lados das faces:
Logo
implica
Mas
tem de ser um número inteiro (número de arestas). Como obtemos um valor não inteiro, é impossível que exista um poliedro com esses dados que satisfaça as hipóteses da fórmula de Euler. Portanto não é possível construir tal poliedro. (A contradição vem da contagem dupla das arestas pelas faces: a soma dos lados das faces tem de ser par.)
Passo 4
Dados:
com
faces triangulares e
faces quadrangulares.
Calculo
:
Assim
.
Agora uso Euler para achar
:
Resultado:
e
.
Passo 5
Dados:
. Faces são apenas triangulares, quadrangulares e uma pentagonal; número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
Seja
o número de faces triangulares,
o número de faces quadrangulares e haja exatamente
face pentagonal. O enunciado diz
. Então o número total de faces é
A relação das arestas pelas faces dá
Como
, isso é
Euler com
dá
Substituindo
,
Agora uso isso em
:
Isolando
:
Logo
, e a face pentagonal é
, dando
E
.
Resultado:
e
(com
triângulos,
quadriláteros e
pentágono).
Passo 6
Dados: somente faces:
triangulares,
quadrangulares,
pentagonais e
hexagonais.
Total de faces:
Soma dos lados das faces:
Logo
.
Usando Euler:
Resultado:
e
.
Passo 7
Dados:
. Informação sobre vértices: existem
vértices onde partem
arestas cada (grau
),
vértices com grau
, e os restantes vértices têm grau
. Precisamos achar
e
.
Seja
o número total de vértices. Soma das valências (graus) dos vértices:
pois já contamos os
e os
vértices especiais, restando
vértices de grau
.
Compute:
Mas soma dos graus é
. Portanto
Euler com
dá
Substituo em
:
Isolando
:
Logo
e então
Resultado:
e
.
Passo 8
Dados:
faces triangulares e
faces pentagonais.
Total de faces:
Soma dos lados das faces:
portanto
.
Usando Euler:
Resultado:
e
.
Passo 9
Dados:
faces triangulares,
quadrangular,
pentagonal e
hexagonais.
Total de faces:
Soma dos lados:
então
.
Euler:
Resultado:
e
.
Passo 10
Dados: vértices categorizados por quantas faces se encontram em cada vértice:
-
vértices com 3 faces (grau ), -
vértices com 4 faces (grau ), -
vértices com 5 faces (grau ), -
vértices com 6 faces (grau ).
Compute o número total de vértices:
Soma das valências:
Como soma dos graus
, temos
Por Euler, o número de faces é
Resultado:
,
,
.
Resposta
Não, não é possível — a soma dos lados das faces seria
, o que daria
(impossível).\n
a) \n
b) (com
triângulos,
quadriláteros e
pentágono)\n
c) \n
d) \n
e) \n
f) \n
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)