O teorema do valor médio para funções de uma variável diz que: se é contínua e diferenciável para todo então existe tal que se tem .
Verifique se vale um resultado semelhante para funções vetoriais, isto é, dada uma função vetorial contínua em e diferenciável em , existe satisfazendo
Passo 1
O enunciado lembra o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções reais: se é contínua em e diferenciável em , então existe tal que
Pergunta-se se um resultado idêntico vale para uma função vetorial , isto é, se existe com
Passo 2
Para que valha o análogo vetorial, deveríamos ter
com o mesmo. Mas o TVM escalar garante cada componente tem pelo menos um ponto (dependente de ) que satisfaz
porém nada assegura que esses coincidam para todas as três componentes.
Passo 3
Mostramos um contraexemplo simples em . Defina
Então
logo a secante é o vetor nulo. Se existisse tal que
teríamos
que nunca é . Logo não existe satisfazendo o análogo do TVM no sentido vetorial.
Passo 4
Concluímos que não vale em geral um Teorema do Valor Médio vetorial na forma
O que existe é uma versão fraca, baseada na desigualdade: para alguma vale
ou então que, para cada vetor unitário vec u, há c (dependente de vec u) com