O teorema do valor médio para funções de uma variável diz que: se f:[a, b] subset R R é contínua e diferenciável para todo t in(a, b) então existe c in(a, b) tal que se tem d fd t(c)=f(b)-f(a)b-a.
Verifique se vale um resultado semelhante para funções vetoriais, isto é, dada uma função vetorial F:[a, b] R^3 contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), existe c in(a, b) satisfazendo
F^prime(c)=F(b)-F(a)b-a ?

Passo 1

O enunciado lembra o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções reais: se f:[a,b]toR é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Pergunta-se se um resultado idêntico vale para uma função vetorial vec F:[a,b]toR^3, isto é, se existe cin(a,b) com
vec F'(c)=vec F(b)-vec F(a)b-a

Passo 2

Para que valha o análogo vetorial, deveríamos ter
Fi'(c)=Fi(b)-Fi(a)b-a para cada componente i=1,2,3,
com o mesmo c. Mas o TVM escalar garante cada componente tem pelo menos um ponto ci (dependente de i) que satisfaz
Fi'(ci)=Fi(b)-Fi(a)b-a,
porém nada assegura que esses ci coincidam para todas as três componentes.

Passo 3

Mostramos um contraexemplo simples em [0,2pi]. Defina
vec F(t)=l(cos t,;sin tr)
Então
vec F(2pi)-vec F(0)=(1,0)-(1,0)=(0,0),
logo a secante é o vetor nulo. Se existisse c tal que
vec F'(c)=vec F(2pi)-vec F(0)2pi-0=(0,0),
teríamos
vec F'(t)=(-sin t,cos t),
que nunca é (0,0). Logo não existe c satisfazendo o análogo do TVM no sentido vetorial.

Passo 4

Concluímos que não vale em geral um Teorema do Valor Médio vetorial na forma
vec F'(c)=vec F(b)-vec F(a)b-a
O que existe é uma versão fraca, baseada na desigualdade: para alguma c vale
l|vec F(b)-vec F(a)r|<= (b-a)l|vec F'(c)r|,
ou então que, para cada vetor unitário vec u, há c (dependente de vec u) com
vec ucdotvec F'(c)=vec ucdotvec F(b)-vec F(a)b-a

Resposta

Não existe, em geral, cin(a,b) tal que
vec F'(c)=vec F(b)-vec F(a)b-a

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