Seja F(t)=sin t i-cos t j. Mostre que para todo t in R os vetores F(t) e F^prime prime(t) são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(t)=sin t,i-cos t,j
e pede para mostrar que, para todo t, os vetores F(t) e F''(t) são paralelos. Vamos usar o critério de que dois vetores em R^2 são paralelos se e somente se um for múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Primeiro calculamos a primeira derivada F'(t). Derivando componente a componente:
F'(t) =ddtl(sin t,ir)-ddtl(cos t,jr) =cos t,i+sin t,j

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada F''(t), derivando novamente:
F''(t) =ddtl(cos t,i+sin t,jr) =-sin t,i+cos t,j

Passo 4

Compare F''(t) com F(t). Temos
F(t)=sin t,i-cos t,j, F''(t)=-sin t,i+cos t,j
Note que
F''(t)=-1cdotl(sin t,i-cos t,jr) =-F(t)
Ou seja, F''(t) é múltiplo escalar de F(t).

Resposta

Para todo tinR vale
F''(t)=-F(t),
logo F(t) e F''(t) são paralelos.

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