Reduza a quádrica
a forma canônica, identifique-a e descreva suas características (centro ou vértice, eixo, etc…).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática:
. Nosso objetivo é transformar essa equação na forma canônica, que é uma versão simplificada que mostra claramente o tipo de superfície que estamos lidando e suas características principais, como o centro, os eixos, etc. Para isso, vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado para as variáveis envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Aqui, a gente tem termos quadráticos (com
e
), termos lineares (com
e
) e um termo com
.
Passo 3
Vamos começar completando o quadrado para a variável
. Para isso, observamos os termos que envolvem
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para
, pegamos metade do coeficiente de
(que é 6), ou seja, 3, e o quadrado disso:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para a variável
. Observamos os termos que envolvem
:
Fatorando o coeficiente de
:
Completando o quadrado para
, pegamos metade do coeficiente de
(que é -2), ou seja, -1, e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo essas expressões de volta na equação original, temos:
Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar
:
Dividindo todos os termos por 72 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, a equação está na forma canônica:
Resposta
A forma canônica da equação é
. Essa é uma parábola circular com vértice no ponto
. Os eixos são paralelos aos eixos
e
, com aberturas determinadas pelos denominadores 8 e 18, respectivamente.