Reduza a quádrica 9 x^2+4 z^2+54 x-8 z-72 y+85=0 a forma canônica, identifique-a e descreva suas características (centro ou vértice, eixo, etc…).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: 9x^2 + 4z^2 + 54x - 8z - 72y + 85 = 0. Nosso objetivo é transformar essa equação na forma canônica, que é uma versão simplificada que mostra claramente o tipo de superfície que estamos lidando e suas características principais, como o centro, os eixos, etc. Para isso, vamos precisar usar a técnica de completar o quadrado para as variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos semelhantes:
9x^2 + 54x + 4z^2 - 8z - 72y + 85 = 0
Aqui, a gente tem termos quadráticos (com x^2 e z^2), termos lineares (com x e z) e um termo com y.

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para a variável x. Para isso, observamos os termos que envolvem x:
9x^2 + 54x
Primeiro, fatoramos o coeficiente de x^2:
9(x^2 + 6x)
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Para x^2 + 6x, pegamos metade do coeficiente de x (que é 6), ou seja, 3, e o quadrado disso:
3^2 = 9
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro do parêntese:
9(x^2 + 6x + 9 - 9) = 9((x + 3)^2 - 9)
Simplificando:
9(x + 3)^2 - 81

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a variável z. Observamos os termos que envolvem z:
4z^2 - 8z
Fatorando o coeficiente de z^2:
4(z^2 - 2z)
Completando o quadrado para z^2 - 2z, pegamos metade do coeficiente de z (que é -2), ou seja, -1, e elevamos ao quadrado:
(-1)^2 = 1
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
4(z^2 - 2z + 1 - 1) = 4((z - 1)^2 - 1)
Simplificando:
4(z - 1)^2 - 4

Passo 5

Substituindo essas expressões de volta na equação original, temos:
9(x + 3)^2 - 81 + 4(z - 1)^2 - 4 - 72y + 85 = 0
Vamos simplificar os termos constantes:
-81 - 4 + 85 = 0
Então, a equação fica:
9(x + 3)^2 + 4(z - 1)^2 - 72y = 0

Passo 6

Vamos isolar y:
9(x + 3)^2 + 4(z - 1)^2 = 72y
Dividindo todos os termos por 72 para simplificar:
9(x + 3)^272 + 4(z - 1)^272 = y
Simplificando as frações:
(x + 3)^28 + (z - 1)^218 = y

Passo 7

Agora, a equação está na forma canônica:
y = (x + 3)^28 + (z - 1)^218

Resposta

A forma canônica da equação é y = (x + 3)^28 + (z - 1)^218. Essa é uma parábola circular com vértice no ponto (-3, 0, 1). Os eixos são paralelos aos eixos x e z, com aberturas determinadas pelos denominadores 8 e 18, respectivamente.

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