Demonstre a propriedade 11 para as integrais duplas. Explique o teorema de Fubini.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a chamada propriedade 11 das integrais duplas, que é exatamente o Teorema de Fubini para retângulos. O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas e Riemann, e vamos usar a ideia de somas de Riemann em duas variáveis e depois agrupar essas somas em “interações” sucessivas para mostrar que
Aqui e é uma função limitada e Riemann-integrável em .
Passo 2
Definimos um particionamento de como
e de como
Em cada subretângulo escolhemos um ponto qualquer e definimos a soma de Riemann dupla
onde e . Sabemos que, conforme o diâmetro máximo , essas somas convergem para .
Passo 3
Observe que podemos agrupar a soma de Riemann dupla por faixas em :
Para cada fixo, é uma soma de Riemann para a função unária em . Como essa função é integrável em , ao refinar fica
Passo 4
Logo, temos que, para dado , escolhendo suficientemente fino,
para todo i. Então
l|S(P,Q;f) -sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xir| <sumi=1^mde<a,De<a xi =de<a(b-a)
Como de<a pode ser arbitrariamente pequeno,
S(P,Q;f);longrightarrow; sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xi
Passo 5
Mas sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xi é exatamente uma soma de Riemann para a função
phi(x)=integralc^df(x,y),dy
em [a,b]. Como phi é integrável (pois f é limitada e integrável em R), essas somas convergem para
integral duplaRf(x,y),dA =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx
O mesmo argumento, trocando a ordem de agrupamento, dá
integral duplaRf(x,y),dA =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy
Passo 6
Essa igualdade de integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa, é o que chamamos de Teorema de Fubini no caso de retângulos. Na prática, ele nos permite calcular
integral duplaRf(x,y),dA
fazendo duas integrais simples sucessivas, o que simplifica muito os cálculos de integrais duplas.
Resposta
Demonstração completa do Teorema de Fubini (propriedade 11):
integral dupla[a,b]times[c,d]f(x,y),dA =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy