Demonstre a propriedade 11 para as integrais duplas. Explique o teorema de Fubini.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a chamada propriedade 11 das integrais duplas, que é exatamente o Teorema de Fubini para retângulos. O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas e Riemann, e vamos usar a ideia de somas de Riemann em duas variáveis e depois agrupar essas somas em “interações” sucessivas para mostrar que
integral duplaRf(x,y),dA =integrala^bgl(integralc^df(x,y),dygr),dx =integralc^dgl(integrala^bf(x,y),dxgr),dy
Aqui R=[a,b]times[c,d] e f é uma função limitada e Riemann-integrável em R.

Passo 2

Definimos um particionamento de [a,b] como
Pcolon a=x0<x1<cdots<xm=b
e de [c,d] como
Qcolon c=y0<y1<cdots<yn=d
Em cada subretângulo Rij=[xi-1,xi]times[yj-1,yj] escolhemos um ponto qualquer (xi^*,yj^*) e definimos a soma de Riemann dupla
S(P,Q;f) =sumi=1^msumj=1^nf(xi^*,yj^*),De<a xi,De<a yj,
onde De<a xi=xi-xi-1 e De<a yj=yj-yj-1. Sabemos que, conforme o diâmetro máximo |P|cup|Q|to0, essas somas convergem para integral duplaRf.

Passo 3

Observe que podemos agrupar a soma de Riemann dupla por faixas em x:
S(P,Q;f) =sumi=1^ml[sumj=1^nf(xi^*,yj^*),De<a yjr]De<a xi
Para cada i fixo, sumj=1^nf(xi^*,yj^*),De<a yj é uma soma de Riemann para a função unária ymapsto f(xi^*,y) em [c,d]. Como essa função é integrável em [c,d], ao refinar Q fica
sumj=1^nf(xi^*,yj^*),De<a yj ;longrightarrow; integralc^df(xi^*,y),dy

Passo 4

Logo, temos que, para dado varepsilon>0, escolhendo Q suficientemente fino,
l|sumj=1^nf(xi^*,yj^*),De<a yj -integralc^df(xi^*,y),dyr|<de<a
para todo i. Então
l|S(P,Q;f) -sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xir| <sumi=1^mde<a,De<a xi =de<a(b-a)
Como de<a pode ser arbitrariamente pequeno,
S(P,Q;f);longrightarrow; sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xi

Passo 5

Mas sumi=1^ml(integralc^df(xi^*,y),dyr)De<a xi é exatamente uma soma de Riemann para a função
phi(x)=integralc^df(x,y),dy
em [a,b]. Como phi é integrável (pois f é limitada e integrável em R), essas somas convergem para
integrala^bphi(x),dx =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx
Combinando tudo, obtemos
integral duplaRf(x,y),dA =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx
O mesmo argumento, trocando a ordem de agrupamento, dá
integral duplaRf(x,y),dA =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy

Passo 6

Essa igualdade de integrar primeiro em y e depois em x, ou vice-versa, é o que chamamos de Teorema de Fubini no caso de retângulos. Na prática, ele nos permite calcular
integral duplaRf(x,y),dA
fazendo duas integrais simples sucessivas, o que simplifica muito os cálculos de integrais duplas.

Resposta

Demonstração completa do Teorema de Fubini (propriedade 11):
integral dupla[a,b]times[c,d]f(x,y),dA =integrala^bl(integralc^df(x,y),dyr),dx =integralc^dl(integrala^bf(x,y),dxr),dy

Exercícios relacionados