Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-y=t-2 ; y(2)=3, y^prime(2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''-y = t-2
com condições iniciais em t=2:
y(2)=3, y'(2)=0
O conteúdo aqui é usar transformada de Laplace, mas como as condições não estão em t=0, vamos primeiro fazer uma mudança de variável para colocar o problema em termos de condições iniciais em zero.

Passo 2

Definimos tau = t-2 e
u(tau) = y(tau+2)
Então
d^2udtau^2 - u = (tau+2)-2 = tau,
e as condições viram
u(0)=y(2)=3, u'(0)=y'(2)=0

Passo 3

Tomando a transformada de Laplace em tau, seja U(s)= Lu(tau). Usamos
Lu''=s^2U - s,u(0)-u'(0), Lu=U, Ltau=1s^2
Logo a EDO transformada é
l(s^2U - scdot3 - 0r) - U = 1s^2,
isto é
(s^2-1),U - 3s = 1s^2

Passo 4

Isolando U:
U(s) = 1s^2 +3ss^2-1 =1s^2(s^2-1)+3ss^2-1
Fazendo frações parciais em 1s^2(s^2-1) e lembrando que
ss^2-1=tfrac12l(1s-1+1s+1r), obtemos
U(s) = -1s^2 + 2s-1 + 1s+1

Passo 5

Invertendo a transformada:
u(tau) = L^-1U(s) = -,tau ;+;2,e^tau;+;e^-tau

Passo 6

Voltando a y(t), basta lembrar tau=t-2:
y(t) = u(t-2) = -l(t-2r) + 2,e^,t-2 + e^-(t-2)

Resposta

y(t) = 2,e^t-2 ;+; e^-(t-2) ;-; (t-2)

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