Desenhe o sólido cujo volume é dado pela integral iterada integral0^1 integral0^1-x^2(1-x) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido cujo volume é dado por
integral0^1integral0^1-x^2(1-x),dy,dx
Aqui interpretamos essa integral dupla como o volume do sólido S em que, sobre cada ponto (x,y) da região R no plano xy, a altura vale z=1-x.

Passo 2

Identificamos a região de base RsubsetR^2 como
R = (x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x^2
É a parte do primeiro quadrante que fica sob a parábola y=1-x^2, entre x=0 e x=1.

Passo 3

As superfícies que limitam o sólido S são:
  • Plano inferior: z=0.
  • Plano superior (teto): z=1-x, que intercepta o eixo z em (0,0,1) e cai até (1,0,0).
  • Planos laterais: x=0, x=1 (verticais) e y=0 (plano xz).
  • Superfície curva lateral: y=1-x^2, extrudida verticalmente.

Passo 4

Como esboçar:
  1. Desenhe os eixos: x para a direita, y para dentro do papel, z para cima.
  2. No plano xy, trace a curva y=1-x^2 de x=0 a x=1 e feche-a com as retas x=0 e y=0, sombreando R.
  3. Sobre cada ponto de R eleve uma aresta até o plano z=1-x. Em x=0, essa aresta vai até z=1; em x=1, cai até z=0.
  4. Una essas arestas para formar o teto plano inclinado e as faces laterais (planas e curva).

Passo 5

O sólido é então uma “tenda” no primeiro octante, com base curvilínea R e teto plano inclinado z=1-x, afunilando até zero em x=1.

Resposta

O sólido desenhado pode ser descrito por
S = (x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x^2,;0<= z<=1-x
Ele é limitado pelos planos z=0, z=1-x, y=0, x=0, x=1 e pela superfície cilíndrica y=1-x^2.

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