Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
w^prime prime-2 w^prime+w=6 t-2;
w(-1)=3 ; w^prime(-1)=7

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
w''(t)-2,w'(t)+w(t)=6,t-2, w(-1)=3, w'(-1)=7,
que devemos resolver pelo método de transformadas de Laplace. Como as condições iniciais estão em t=-1, vamos primeiro fazer uma mudança de variável para ter condições em zero.

Passo 2

Definimos a nova variável x=t+1 e a função
Y(x)=w(x-1)
Então
Y'(x)=w'(x-1), Y''(x)=w''(x-1),
e as condições ficam
Y(0)=w(-1)=3, Y'(0)=w'(-1)=7
Substituindo t=x-1 na equação, o lado direito vira
6,(x-1)-2=6x-8,
logo o problema em Y é
Y''(x)-2,Y'(x)+Y(x)=6x-8, Y(0)=3, Y'(0)=7

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em xmapsto s. Seja
U(s)= LY(x)
Usamos
LY''=s^2U(s)-s,Y(0)-Y'(0)=s^2U-3s-7,
LY'=s,U(s)-Y(0)=sU-3,
LY=U(s),
L6x-8=6s^2-8s
Então a equação transformada é
(s^2U-3s-7)-2,(sU-3)+U=6s^2-8s

Passo 4

Reunindo termos em U(s):
(s^2-2s+1),U(s)-3s-7+6=6s^2-8s ;Longrightarrow; (s-1)^2U(s)=6s^2-8s+3s+1
Logo
U(s) =6/s^2-8/s+3s+1(s-1)^2 =3s^3+s^2-8s+6s^2(s-1)^2
Fazendo frações parciais
U(s)=4s+6s^2-1s-1+2(s-1)^2

Passo 5

Invertemos termo a termo:
L^-1!l(tfrac4sr)=4, L^-1!l(tfrac6s^2r)=6x, L^-1!l(-tfrac1s-1r)=-e^x, L^-1!l(tfrac2(s-1)^2r)=2x,e^x
Assim
Y(x)=4+6x -e^x +2x,e^x =6x+4+e^x(2x-1)

Passo 6

Voltando à variável original t, temos x=t+1, de modo que
w(t)=Y(t+1) =6(t+1)+4+e^,t+1l(2(t+1)-1r)
Distribuindo,
w(t)=6t+6+4+e^t+1(2t+1) =6t+10+e^t+1(2t+1)

Resposta

boxedw(t)=6t+10+e^t+1(2t+1)

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