Utilizando vetores, calcule o ângulo entre as diagonais de um cubo e suas arestas.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre uma diagonal do cubo (diagonal espacial) e uma de suas arestas, usando vetores. Para isso vamos precisar representar essas direções por vetores em R^3 e usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Escolhemos um cubo de aresta de comprimento a colocando um vértice na origem e as arestas ao longo dos eixos coordenados. Assim, podemos representar
a aresta por
e = (a,0,0)
e a diagonal espacial (do vértice na origem ao vértice oposto) por
d = (a,a,a)

Passo 3

Lembrando que o ângulo theta entre dois vetores u e v satisfaz
costheta = ucdotv|u|;|v|,
vamos aplicar isso a d e e.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
dcdote = (a,a,a)cdot(a,0,0) = a^2,
|d| = raiza^2 + a^2 + a^2 = araiz3, |e| = raiza^2 = a
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costheta = a^2(araiz3),(a) = 1raiz3

Passo 5

Para obter theta, basta inverter o cosseno:
theta = arccos!l(tfrac1raiz3r)

Resposta

theta = arccos!l(tfrac1raiz3r)approx 54,7^circ

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