Utilizando vetores, calcule o ângulo entre as diagonais de um cubo e suas arestas.
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre uma diagonal do cubo (diagonal espacial) e uma de suas arestas, usando vetores. Para isso vamos precisar representar essas direções por vetores em
e usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Escolhemos um cubo de aresta de comprimento
colocando um vértice na origem e as arestas ao longo dos eixos coordenados. Assim, podemos representar
a aresta por
a aresta por
e a diagonal espacial (do vértice na origem ao vértice oposto) por
Passo 3
Lembrando que o ângulo
entre dois vetores
e
satisfaz
vamos aplicar isso a
e
.
Passo 4
Calculamos o produto escalar e as normas:
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Passo 5
Para obter
, basta inverter o cosseno: