Demonstre as propriedades de produto vetorial:
(b) lambda cdot u times v=lambda cdot(u times v)=u times lambda cdot v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto vetorial é linear em cada argumento, ou seja, para todo escalar lambdainR e vetores u,vinR^3 vale
(lambda u)times v =lambda,(utimes v) e utimes(lambda v) =lambda,(utimes v)
O conteúdo é a definição em componentes do produto vetorial e a propriedade de bilinearidade.

Passo 2

Sejam
u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3)
Pela definição em coordenadas, o produto vetorial é
utimesv =(,u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1,)

Passo 3

Calculemos (lambdau)timesv. Como lambdau=(lambda u1,lambda u2,lambda u3), temos
(lambdau)timesv =l((lambda u2)v3-(lambda u3)v2,;(lambda u3)v1-(lambda u1)v3,;(lambda u1)v2-(lambda u2)v1r)
Em cada componente sai fator lambda, então
(lambdau)timesv =lambda,(u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1) =lambda,(utimesv)

Passo 4

De modo análogo, para utimes(lambdav) usamos lambdav=(lambda v1,lambda v2,lambda v3) e obtemos
utimes(lambdav) =(,u2(lambda v3)-u3(lambda v2),;u3(lambda v1)-u1(lambda v3),;u1(lambda v2)-u2(lambda v1),)
que de novo traz um fator lambda em todas as componentes, logo
utimes(lambdav) =lambda,(u2v3-u3v2,;u3v1-u1v3,;u1v2-u2v1) =lambda,(utimesv)

Resposta

Demonstramos que
(lambdau)timesv =lambda,(utimesv) e utimes(lambdav) =lambda,(utimesv),
isto é,
lambdacdotutimesv =lambdacdot(utimesv) =utimeslambdacdotv

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