Sejam a e b números reais positivos. Mostre que:
-2 b<x+a-b<2 a-|x|<a+b.

Passo 1

O enunciado afirma que, para quaisquer a>0, b>0 e x real, deveríamos ter a cadeia de desigualdades
-2b < x + a - b < 2a - |x| < a + b
Para exibir uma demonstração, é imprescindível saber para quais valores de x essa cadeia se pretende válida.

Passo 2

Vamos testar extremos de x sem impor restrição nenhuma. Escolha, por exemplo, a=1, b=1 e x=-100. Então
x + a - b = -100 + 1 - 1 = -100,
enquanto
-2b = -2
Mas -2 < -100 é falso, de modo que já a primeira parte
-2b < x + a - b
não se sustenta para todo xinR.

Passo 3

Isso mostra que, sem restringir o domínio de x, a desigualdade não é verdadeira em geral. Logo, o enunciado está incompleto: falta especificar para qual intervalo de x a cadeia deve valer.

Resposta

Não é possível demonstrar a desigualdade para todo xinR porque o enunciado não indica nenhuma condição sobre x.

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