Demonstre que
para qualquer inteiro positivo
. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para todo inteiro positivo
. O conteúdo envolvido é a forma de indeterminação
e a ferramenta que vamos usar é a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Note que
logo
está na forma
. Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
Passo 3
Cada aplicação da regra de L’Hôpital reduz o expoente de
no numerador em
e introduz um fator que decresce em
. Após
aplicações temos
Em particular, após
aplicações chegamos a
Passo 4
Como
, segue que
Pelo encadeamento das igualdades acima, concluímos que