Demonstre que
lim x +infty e^xx^n=0
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto+inftyx^ne^x=0
para todo inteiro positivo n. O conteúdo envolvido é a forma de indeterminação infty/infty e a ferramenta que vamos usar é a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Note que
limxto+inftyx^n=+infty e limxto+inftye^x=+infty,
logo tfracx^ne^x está na forma infty/infty. Pela regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
limxto+inftyx^ne^x = limxto+inftyn,x^n-1e^x

Passo 3

Cada aplicação da regra de L’Hôpital reduz o expoente de x no numerador em 1 e introduz um fator que decresce em 1. Após k aplicações temos
limxto+inftyx^ne^x = limxto+inftyn,(n-1)cdots(n-k+1),x^,n-ke^x
Em particular, após n aplicações chegamos a
limxto+inftyx^ne^x = limxto+inftyn!e^x

Passo 4

Como limxto+inftye^x=+infty, segue que
limxto+inftyn!e^x=0
Pelo encadeamento das igualdades acima, concluímos que
limxto+inftyx^ne^x=0

Resposta

limxto+inftyx^ne^x=0

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