Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
Passo 1
O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função
O conteúdo é análise de extremos usando derivada primeira e estudo de comportamento em pontos críticos, assíntotas e infinidades. Vamos precisar determinar o domínio, calcular
, achar pontos críticos, classificar máximos e mínimos locais e por fim verificar se há extremos globais via limites.
Passo 2
Primeiro, o domínio de
é
. Agora calculamos a derivada usando quociente:
Passo 3
Os pontos em que
são
e
. O denominador nunca zera (exceto em
, que não está no domínio). Para classificar, observamos o sinal de
:
- Em
: e (crescente). - Em
e : (decrescente). - Em
: (crescente).
Logo emtemos mudança de crescente para decrescente máximo local. Em mudança de decrescente para crescente mínimo local.
Passo 4
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Portanto há máximo local
e mínimo local
.
Passo 5
Para ver se há extremos globais, estudamos os limites em
e em infinidades:
Como
atinge
e assume valores abaixo e acima dos pontos críticos, não existem máximos ou mínimos absolutos (globais) finitos.
Resposta
Máximo local em
com
.
Mínimo local em com
.
Não há máximo ou mínimo global.
Mínimo local em
Não há máximo ou mínimo global.