Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
f(x)=x^2x-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos locais e globais da função
f(x)=x^2x-1
O conteúdo é análise de extremos usando derivada primeira e estudo de comportamento em pontos críticos, assíntotas e infinidades. Vamos precisar determinar o domínio, calcular f'(x), achar pontos críticos, classificar máximos e mínimos locais e por fim verificar se há extremos globais via limites.

Passo 2

Primeiro, o domínio de f é xinRmid xneq1. Agora calculamos a derivada usando quociente:
f'(x) =(2x)(x-1)-x^2cdot1(x-1)^2 =2x^2-2x - x^2(x-1)^2 =x(x-2)(x-1)^2

Passo 3

Os pontos em que f'(x)=0 são x=0 e x=2. O denominador nunca zera (exceto em x=1, que não está no domínio). Para classificar, observamos o sinal de f'(x):
  • Em (-infty,0): x<0 e x-2<0 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em (0,1) e (1,2): xin(0,2) Rightarrow x(x-2)<0 Rightarrow f'<0 (decrescente).
  • Em (2,infty): x>2 Rightarrow x(x-2)>0 Rightarrow f'>0 (crescente).
    Logo em x=0 temos mudança de crescente para decrescente Rightarrow máximo local. Em x=2 mudança de decrescente para crescente Rightarrow mínimo local.

Passo 4

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=0^20-1=0, f(2)=2^22-1=4
Portanto há máximo local l(0,0r) e mínimo local l(2,4r).

Passo 5

Para ver se há extremos globais, estudamos os limites em xto1^pm e em infinidades:
limxto1^-f(x)=10^-=-infty, limxto1^+f(x)=10^+=+infty,
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Como f atinge pminfty e assume valores abaixo e acima dos pontos críticos, não existem máximos ou mínimos absolutos (globais) finitos.

Resposta

Máximo local em x=0 com f(0)=0.
Mínimo local em x=2 com f(2)=4.
Não há máximo ou mínimo global.

Exercícios relacionados