Demonstre a regra de lHôpital para funções holomorfas: se f(z0)= g(z0)=0, então
lim z z0 f(z)g(z)=f^prime(z0)g^prime(z0)
Se por acaso também ocorrer que f^prime(z0)=g^prime(z0)=0, então
lim z z0 f(z)g(z)=lim z z0 f^prime(z)g^prime(z)=f^(2)(z0)g^(2)(z0)
e assim sucessivamente.

Passo 1

O enunciado pede que, dadas duas funções holomorfas f e g numa vizinhança de z0 com
f(z0)=g(z0)=0,
mostremos que
limzto z0f(z)g(z)=f'(z0)g'(z0),
e, se também f'(z0)=g'(z0)=0, prossigamos aplicando sucessivamente a mesma regra às derivadas até obtermos uma ordem m em que f^(m)(z0) e g^(m)(z0) sejam não nulas. Para isso vamos usar o fato de que zeros de funções holomorfas se “fatoram” em potências de (z-z0).

Passo 2

Como f é holomorfa em torno de z0 e f(z0)=0 com f'(z0)neq 0, existe uma função holomorfa F tal que
f(z)=(z-z0),F(z),
e mais, pelo desenvolvimento de Taylor, F(z0)=f'(z0). De modo análogo, se g'(z0)neq 0 então existe holomorfa G com
g(z)=(z-z0),G(z),
e G(z0)=g'(z0).

Passo 3

Para zneq z0 temos
f(z)g(z) =(z-z0),F(z)(z-z0),G(z) =F(z)G(z)
Como F e G são contínuas em z0 e G(z0)neq 0, basta tomar zto z0 para obter
limzto z0f(z)g(z) =F(z0)G(z0) =f'(z0)g'(z0)

Passo 4

Se por acaso também f'(z0)=g'(z0)=0, então cada uma tem zero de ordem >=2 em z0. De fato existe m>=2 mínimo tal que
f^(k)(z0)=g^(k)(z0)=0(k<m),
e
f^(m)(z0)neq 0, g^(m)(z0)neq 0
Pelo mesmo lema de fatoração para zeros de ordem m temos holomorfas F e G com
f(z)=(z-z0)^mF(z), g(z)=(z-z0)^mG(z),
e
F(z0)=f^(m)(z0)m!, G(z0)=g^(m)(z0)m!

Passo 5

Para zneq z0 vale novamente
f(z)g(z) =(z-z0)^mF(z)(z-z0)^mG(z) =F(z)G(z),
e tomando zto z0 obtemos
limzto z0f(z)g(z) =F(z0)G(z0) =tfracf^(m)(z0)m!tfracg^(m)(z0)m! =f^(m)(z0)g^(m)(z0)

Resposta

Demonstração completa: se f(z0)=g(z0)=0 e f'(z0), g'(z0) não são ambos zero, então
limzto z0f(z)g(z)=f'(z0)g'(z0)
Se as primeiras m-1 derivadas de f e g em z0 forem nulas e f^(m)(z0), g^(m)(z0)neq 0, então
limzto z0f(z)g(z) =f^(m)(z0)g^(m)(z0)

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