Demonstre a regra de lHôpital para funções holomorfas: se
, então
Se por acaso também ocorrer que
, então
e assim sucessivamente.
Passo 1
O enunciado pede que, dadas duas funções holomorfas
e
numa vizinhança de
com
mostremos que
e, se também
, prossigamos aplicando sucessivamente a mesma regra às derivadas até obtermos uma ordem
em que
e
sejam não nulas. Para isso vamos usar o fato de que zeros de funções holomorfas se “fatoram” em potências de
.
Passo 2
Como
é holomorfa em torno de
e
com
, existe uma função holomorfa
tal que
e mais, pelo desenvolvimento de Taylor,
. De modo análogo, se
então existe holomorfa
com
e
.
Passo 3
Para
temos
Como
e
são contínuas em
e
, basta tomar
para obter
Passo 4
Se por acaso também
, então cada uma tem zero de ordem
em
. De fato existe
mínimo tal que
e
Pelo mesmo lema de fatoração para zeros de ordem
temos holomorfas
e
com
e
Passo 5
Para
vale novamente
e tomando
obtemos
Resposta
Demonstração completa: se
e
,
não são ambos zero, então
Se as primeiras
derivadas de
e
em
forem nulas e
,
, então