Encontre os seguintes gradientes das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariable, mais especificamente sobre gradientes. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, se temos
, o gradiente é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
. Mantemos
e
constantes e derivamos
em relação a
:
Porque a derivada de
é
e as demais partes são tratadas como constantes.
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
. Mantemos
e
constantes e derivamos
em relação a
:
Aqui, a derivada de
é
.
Passo 5
Por fim, calculamos a derivada parcial em relação a
. Mantemos
e
constantes e derivamos
em relação a
:
Isso porque a derivada de
é
.
Resposta
O gradiente da função
é: