Encontre os seguintes gradientes das seguintes funções:
e^x sin (y) ln z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função f(x, y, z) = e^x sin(y) ln(z) . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariable, mais especificamente sobre gradientes. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Então, se temos f(x, y, z) , o gradiente é:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a x. Mantemos y e z constantes e derivamos e^x sin(y) ln(z) em relação a x:
partial fpartial x = e^x sin(y) ln(z)
Porque a derivada de e^x é e^x e as demais partes são tratadas como constantes.

Passo 4

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a y. Mantemos x e z constantes e derivamos e^x sin(y) ln(z) em relação a y:
partial fpartial y = e^x cos(y) ln(z)
Aqui, a derivada de sin(y) é cos(y) .

Passo 5

Por fim, calculamos a derivada parcial em relação a z. Mantemos x e y constantes e derivamos e^x sin(y) ln(z) em relação a z:
partial fpartial z = e^x sin(y) cdot 1z
Isso porque a derivada de ln(z) é 1z .

Resposta

O gradiente da função e^x sin(y) ln(z) é:
nabla f = ( e^x sin(y) ln(z), e^x cos(y) ln(z), e^x sin(y)z )

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