Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial. O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do divergente e do rotacional aplicadas ao vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor . O divergente, notado como , é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável:
Calculando cada derivada:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do vetor , denotado por . A fórmula do rotacional é dada pelo determinante da seguinte matriz:
Calculando o determinante:
Componente i:
partialpartial y(z^2 + x y) - partialpartial z(y^2 + z x) = x - x = 0
Componente j:
partialpartial z(x^2 + y z) - partialpartial x(z^2 + x y) = y - y = 0
Componente k:
partialpartial x(y^2 + z x) - partialpartial y(x^2 + y z) = z - z = 0
Portanto, o rotacional é:
nabla times A = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Resposta
O divergente de A é nabla cdot A = 2(x + y + z) e o rotacional de A é nabla times A = 0.