Encontre o o divergente e o rotacional do vetor A=(x^2+y z) i+(y^2+z x) j+(z^2+x y) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o divergente e o rotacional de um campo vetorial. O conteúdo aqui é de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operadores diferenciais. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do divergente e do rotacional aplicadas ao vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor A = (x^2 + y z) i + (y^2 + z x) j + (z^2 + x y) k. O divergente, notado como nabla cdot A, é dado pela soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável:
nabla cdot A = partialpartial x(x^2 + y z) + partialpartial y(y^2 + z x) + partialpartial z(z^2 + x y)
Calculando cada derivada:
  • partialpartial x(x^2 + y z) = 2x
  • partialpartial y(y^2 + z x) = 2y
  • partialpartial z(z^2 + x y) = 2z
Somando tudo:
nabla cdot A = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do vetor A, denotado por nabla times A. A fórmula do rotacional é dada pelo determinante da seguinte matriz:
nabla times A = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x^2 + y z & y^2 + z x & z^2 + x y
Calculando o determinante:
  • Componente i:
partialpartial y(z^2 + x y) - partialpartial z(y^2 + z x) = x - x = 0
  • Componente j:
partialpartial z(x^2 + y z) - partialpartial x(z^2 + x y) = y - y = 0
  • Componente k:
partialpartial x(y^2 + z x) - partialpartial y(x^2 + y z) = z - z = 0
Portanto, o rotacional é:
nabla times A = 0 i + 0 j + 0 k = 0

Resposta

O divergente de A é nabla cdot A = 2(x + y + z) e o rotacional de A é nabla times A = 0.

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