Verifique se a funçāo
f(x, y)=l 19 x y^23 x^2+4 y^2, se (x, y) neq 0 19, se (x, y)=0
é contínua.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 19,x,y^23x^2+4y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1em] 19,&se (x,y)=(0,0)
Queremos verificar se f é contínua em todo R^2. Para isso, basta checar continuidade em (0,0), pois em (x,y)neq(0,0) trata-se de quociente de polinômios com denominador não-nulo.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos 3x^2+4y^2>0, logo
(x,y)mapsto 19,x,y^23x^2+4y^2
é quociente de polinômios e, portanto, contínua naquele ponto. Resta verificar a continuidade em (0,0).

Passo 3

A continuidade em (0,0) exige
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=19
Calculemos o limite. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
3x^2+4y^2=r^2(3cos^2theta+4sin^2theta),
19,x,y^2=19,r^3costheta,sin^2theta,
logo
f(r,theta) =19,r^3costheta,sin^2thetar^2(3cos^2theta+4sin^2theta) =19,r;costheta,sin^2theta3cos^2theta+4sin^2theta
À medida que rto0, a fração em theta permanece limitada, então
limrto0f(r,theta)=0

Passo 4

O limite de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) vale 0, mas f(0,0)=19. Como
0neq 19,
concluímos que o limite não coincide com o valor da função em (0,0), implicando descontinuidade ali.

Resposta

A função f é descontínua em (0,0) (logo não é contínua em todo R^2).

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