Demonstre as seguintes afirmações, supondo X e Y variáveis aleatórias quaisquer e a, b in R :

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é mostrar que, para quaisquer variáveis aleatórias Cov(X1+X2,;Y1+Y2) =Cov(X1,Y1)+Cov(X1,Y2)+Cov(X2,Y1)+Cov(X2,Y2) , vale
O assunto aqui é propriedades de covariância e expectativa. Vamos usar a definição
e a linearidade da expectativa (isto é, e ).

Passo 2

Começamos escrevendo direto pela definição:
Agora é hora de abrir os parênteses e usar a linearidade.

Passo 3

  1. Expande o produto dentro da esperança:
(X1+X2)(Y1+Y2) =X1Y1 + X1Y2 + X2Y1 + X2Y2
Pelo mesmo jeito,
Logo

Passo 4

Agora apliquei linearidade em :
Subtraindo o segundo bloco, ficamos com
Mas cada diferença é exatamente .

Resposta

Logo, juntando tudo,
que era justamente o que queríamos provar.

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