Demonstre as seguintes afirmações, supondo
e
variáveis aleatórias quaisquer e
:
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é mostrar que, para quaisquer variáveis aleatórias
, vale
O assunto aqui é propriedades de covariância e expectativa. Vamos usar a definição
e a linearidade da expectativa (isto é, e ).
Passo 2
Começamos escrevendo direto pela definição:
Agora é hora de abrir os parênteses e usar a linearidade.
Passo 3
- Expande o produto dentro da esperança:
Pelo mesmo jeito,
Logo
Passo 4
Agora apliquei linearidade em :
Subtraindo o segundo bloco, ficamos com
Mas cada diferença é exatamente .
Resposta
Logo, juntando tudo,
que era justamente o que queríamos provar.