Demonstre os seguintes enunciados:
todo elemento de R^2 é combinação linear da família
(1,1),(1,-1),(2,0),(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família de vetores
(1,1),,(1,-1),,(2,0),,(1,2)
gera todo o espaço R^2, isto é, para cada vetor genérico (x,y)inR^2 devemos encontrar escalares a,b,c,d tais que
(x,y)=a,(1,1)+b,(1,-1)+c,(2,0)+d,(1,2)
O conteúdo envolvido é o de combinação linear e geração (span) de um espaço vetorial.

Passo 2

Por definição, mostrar que a família gera R^2 é provar que qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. Basta então apresentar, para um (x,y) arbitrário, valores de a,b,c,d que satisfaçam as coordenadas.

Passo 3

Note que já existem dois vetores na família que são base de R^2. De fato, considere
v1=(1,1), v2=(1,-1)
O determinante da matriz cujas colunas são v1 e v2 é
det1 & 1 1 & -1 =1cdot(-1)-1cdot1=-2neq0,
logo v1 e v2 são linearmente independentes e formam base de R^2. Assim basta usar somente esses dois vetores e tomar c=d=0.

Passo 4

Para resolver
a,(1,1)+b,(1,-1)=(x,y)
escrevemos o sistema em coordenadas:
a + b = x, a - b = y
Somando as duas equações obtemos 2a = x+y, ou seja,
a = x+y2
Subtraindo a segunda da primeira obtemos 2b = x-y, ou seja,
b = x-y2
Tomamos então c=0 e d=0.

Passo 5

Com esses valores verificamos diretamente:
x+y2(1,1) + x-y2(1,-1) + 0,(2,0) + 0,(1,2) = (x,y)
Logo qualquer (x,y)inR^2 é combinação linear da família dada.

Resposta

Para todo (x,y)inR^2 basta escolher
a=x+y2, b=x-y2, c=0, d=0
e escrever
(x,y) =x+y2(1,1)+x-y2(1,-1)+0,(2,0)+0,(1,2)

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