Demonstre os seguintes enunciados:
todo elemento de é combinação linear da família
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a família de vetores
gera todo o espaço , isto é, para cada vetor genérico devemos encontrar escalares tais que
O conteúdo envolvido é o de combinação linear e geração (span) de um espaço vetorial.
Passo 2
Por definição, mostrar que a família gera é provar que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados. Basta então apresentar, para um arbitrário, valores de que satisfaçam as coordenadas.
Passo 3
Note que já existem dois vetores na família que são base de . De fato, considere
O determinante da matriz cujas colunas são e é
logo v1 e v2 são linearmente independentes e formam base de R^2. Assim basta usar somente esses dois vetores e tomar c=d=0.
Passo 4
Para resolver
a,(1,1)+b,(1,-1)=(x,y)
escrevemos o sistema em coordenadas:
a + b = x, a - b = y
Somando as duas equações obtemos 2a = x+y, ou seja,
a = x+y2
Subtraindo a segunda da primeira obtemos 2b = x-y, ou seja,