Demonstre os seguintes enunciados:
nem todo elemento de R^2 é combinação linear da família
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família
F=(1,1),,(2,2),,(3,3),,(4,4)
não gera todo R^2. O conteúdo aqui é ideia de combinação linear e espaço gerado (span). Vamos, portanto, escrever uma combinação genérica dos vetores de F e ver qual é o subespaço que ela forma.

Passo 2

Considere uma combinação linear arbitrária dos vetores em F:
sumk=1^4lambdak,(k,k) =l(sumk=1^4lambdak,k,;sumk=1^4lambdak,kr)
Chamando
S=sumk=1^4lambdak,k,
vemos que todo vetor da forma acima é (S,S). Logo,
Span(F) ;=; l(S,S)mid SinRr,
ou seja, a reta diagonal de equação y=x.

Passo 3

Como (S,S)mid SinR é apenas uma reta em R^2, ela é um subconjunto próprio de R^2. Logo, qualquer vetor cujas coordenadas sejam diferentes não pode estar nesse span.

Passo 4

Por exemplo, suponha que (1,0) seja combinação linear de F. Então teríamos
(1,0) =sumk=1^4lambdak,(k,k) =(S,S),
o que exigiria 1=S e 0=S ao mesmo tempo, uma contradição. Portanto (1,0)notinSpan(F) e, consequentemente, nem todo vetor de R^2 é combinação linear dos vetores de F.

Resposta

Span (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)=(t,t)mid tinRneqR^2. Por exemplo, (1,0) não é combinação linear dessa família.

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