Demonstre os seguintes enunciados:
nem todo elemento de
é combinação linear da família
nem todo elemento de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a família
não gera todo
. O conteúdo aqui é ideia de combinação linear e espaço gerado (span). Vamos, portanto, escrever uma combinação genérica dos vetores de
e ver qual é o subespaço que ela forma.
Passo 2
Considere uma combinação linear arbitrária dos vetores em
:
Chamando
vemos que todo vetor da forma acima é
. Logo,
ou seja, a reta diagonal de equação
.
Passo 3
Como
é apenas uma reta em
, ela é um subconjunto próprio de
. Logo, qualquer vetor cujas coordenadas sejam diferentes não pode estar nesse span.
Passo 4
Por exemplo, suponha que
seja combinação linear de
. Então teríamos
o que exigiria
e
ao mesmo tempo, uma contradição. Portanto
e, consequentemente, nem todo vetor de
é combinação linear dos vetores de
.
Resposta
Span
. Por exemplo,
não é combinação linear dessa família.