Demonstre as seguintes identidades supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se S é uma superfície fechada que delimita o volume V e F é um campo vetorial diferenciável, então a integral de superfície de seu rotacional sobre S é zero. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e a propriedade de que a divergência de um rotacional é nula.
Passo 2
Segundo o Teorema de Gauss, para um campo vetorial qualquer
vale:
Passo 3
Escolhemos
. Substituindo no Teorema de Gauss, obtemos:
Passo 4
Como F é diferenciável, as derivadas parciais de segunda ordem são trocáveis, o que implica
Passo 5
Portanto a integral de volume fica
Passo 6
Logo concluímos que a integral de superfície original é zero.
Resposta
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