Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
integral duplaS nabla times F cdot d s=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se S é uma superfície fechada que delimita o volume V e F é um campo vetorial diferenciável, então a integral de superfície de seu rotacional sobre S é zero. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e a propriedade de que a divergência de um rotacional é nula.

Passo 2

Segundo o Teorema de Gauss, para um campo vetorial qualquer G vale:
integral duplaS Gcdot dS = integral triplaV nablacdot G,dV

Passo 3

Escolhemos G = nablatimes F. Substituindo no Teorema de Gauss, obtemos:
integral duplaS nablatimes Fcdot dS = integral triplaV nablacdotl(nablatimes Fr),dV

Passo 4

Como F é diferenciável, as derivadas parciais de segunda ordem são trocáveis, o que implica
nablacdotl(nablatimes Fr)=0

Passo 5

Portanto a integral de volume fica
integral triplaV 0,dV = 0

Passo 6

Logo concluímos que a integral de superfície original é zero.

Resposta

0

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