Suponha uma curva gamma(t)=(x(t), y(t)) no plano, defina seu vetor tangente unitário como gamma^prime(t)=(x^prime(t)|gamma^prime(t)|, y^prime(t)|gamma^prime(t)|) e seu vetor normal unitário externo a curva como n(t)=(y^prime(t)|gamma^prime(t)|,-x^prime(t)|gamma^prime(t)|), use o Teorema de Green para mostrar que
ointC F cdot n d s=integral duplaD nabla cdot F d A

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma curva simples fechada C, parametricamente dada por gamma(t)=(x(t),y(t)), que é o contorno positivamente orientado de uma região D no plano. Definimos o vetor tangente unitário
vec T(t)=gamma'(t)|gamma'(t)| =l(tfracx'(t)|gamma'(t)|,,tfracy'(t)|gamma'(t)|r)
e o vetor normal unitário externo
vec n(t)=l(tfracy'(t)|gamma'(t)|,;-tfracx'(t)|gamma'(t)|r)
Queremos mostrar que
ointCvec Fcdotvec n,ds =integral duplaDnabla!cdot!vec F,dA

Passo 2

Expressamos o fluxo em termos da parametrização. Como ds=|gamma'(t)|,dt, temos
vec F(gamma(t))cdotvec n(t),ds =l(P(x(t),y(t)),,Q(x(t),y(t))r)cdot l(tfracy'(t)|gamma'(t)|,,-tfracx'(t)|gamma'(t)|r) ,|gamma'(t)|,dt
Ao simplificar,
vec Fcdotvec n,ds = P(x(t),y(t)),y'(t),dt - Q(x(t),y(t)),x'(t),dt

Passo 3

Reconhecemos que
P(x(t),y(t)),y'(t),dt = P,dy, Q(x(t),y(t)),x'(t),dt = Q,dx
Logo,
vec Fcdotvec n,ds = P,dy - Q,dx
e, portanto,
ointCvec Fcdotvec n,ds = ointCP,dy - Q,dx

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Green à integral de linha
ointCP,dy - Q,dx =integral duplaDl(partial Ppartial x + partial Qpartial yr),dA
Mas partial Ppartial x + partial Qpartial y = nabla!cdot!vec F.

Resposta

ointCvec Fcdotvec n,ds =integral duplaDnabla!cdot!vec F,dA

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