Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
y=tg(x) ; y^prime-y^2=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos descobrir se a função y = tan(x) é uma solução para a equação diferencial y' - y^2 = 1 . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução de uma equação diferencial. Uma função y(x) é solução da equação diferencial se, ao substituir y e sua derivada y' na equação, a igualdade se mantém verdadeira.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de y . Sabemos que:
y = tan(x)
A derivada de tan(x) é:
y' = sec^2(x)
Então, y' = sec^2(x) .

Passo 4

Agora, vamos substituir y e y' na equação diferencial y' - y^2 = 1 :
sec^2(x) - (tan(x))^2 = 1

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos da identidade trigonométrica que:
sec^2(x) - tan^2(x) = 1
Então, substituindo:
1 = 1

Resposta

Sim, y = tan(x) é uma solução da equação diferencial y' - y^2 = 1 .

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