Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial formado por combinações de f e g com a integral de volume de combinações de f∇²g e g∇²f, usando o Teorema de Gauss. Vamos precisar do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e da regra do produto para divergência de um escalar vezes um gradiente.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
vec F = fnabla g - gnabla f
A ideia é aplicar o Teorema de Gauss a esse campo.

Passo 3

Calculamos a divergência de vec F. Usando a regra do produto:
nabla cdot (fnabla g) = fnabla^2 g + nabla f cdot nabla g
nabla cdot (gnabla f) = gnabla^2 f + nabla g cdot nabla f
Subtraindo, obtemos
nabla cdot vec F = fnabla^2 g - gnabla^2 f.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência (Gauss):
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral triplaV nablacdotvec F,dV.
Substituindo o valor de nablacdotvec F concluímos a identidade desejada.

Resposta

$$\iint_{S}(f \nabla g - g \nabla f) \cdot \vec{n} ,d s
= \iiint_{V}\bigl(f \nabla^{2} g - g \nabla^{2} f\bigr),d V$$

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