Demonstre as seguintes identidades supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade que relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial formado por combinações de f e g com a integral de volume de combinações de f∇²g e g∇²f, usando o Teorema de Gauss. Vamos precisar do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e da regra do produto para divergência de um escalar vezes um gradiente.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
A ideia é aplicar o Teorema de Gauss a esse campo.
Passo 3
Calculamos a divergência de
. Usando a regra do produto:
Subtraindo, obtemos
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência (Gauss):
Substituindo o valor de
concluímos a identidade desejada.
Resposta
$$\iint_{S}(f \nabla g - g \nabla f) \cdot \vec{n} ,d s
= \iiint_{V}\bigl(f \nabla^{2} g - g \nabla^{2} f\bigr),d V$$