Use uma integral dupla e um CAS para calcular o volume do sólido.
O sólido limitado acima pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e abaixo pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide ,z=1 - x^2 - y^2 e abaixo pelo plano ,z=xy.
Conteúdo: usar integral dupla sobre a região D do plano xy em que o paraboloide fica acima do plano, ou seja
1 - x^2 - y^2 ;>=; xy

Passo 2

Escrevemos o volume como
V ;=;integral duplaDl[(1 - x^2 - y^2) - xyr],dA

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade de D:
1 - x^2 - y^2 - xy ;>=;0 Long<=ftrightarrow x^2 + xy + y^2 ;<=;1
Esse é um cilindro elíptico em xy-plano com contorno quadrático.

Passo 4

Para facilitar, fazemos a rotação de 45^circ no plano, definindo
u=x+yraiz2, v=x-yraiz2
Em termos de u,v tem-se
x^2+y^2 = u^2+v^2, xy = u^2 - v^22,
logo o integrando vira
(1 - x^2 - y^2) - xy = 1 - l(u^2+v^2r) ;-;u^2 - v^22 = 1 - tfrac32,u^2 - tfrac12,v^2
E a região D é
tfrac32,u^2 + tfrac12,v^2 ;<=;1

Passo 5

Agora parametrizamos essa elipse por
u = raiztfrac23,rcosphi, v = raiz2,rsinphi, 0<= r<=1,;0<=phi<=2pi
O jacobiando é ,dA = 2raiz3,r,dr,dphi. Além disso
tfrac32,u^2 + tfrac12,v^2 = r^2,
de onde o integrando fica 1 - r^2. Assim
V = integral0^2pi!integral0^1(1 - r^2),2raiz3,r,dr,dphi = 2raiz3,2piintegral0^1(r - r^3),dr = 4piraiz3l[tfrac12 - tfrac14r] = piraiz3
Usando um CAS para checar a integral dupla original, confirma-se V=pi/raiz3.

Resposta

V = piraiz3

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