Use uma integral dupla e um CAS para calcular o volume do sólido.
O sólido limitado acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
O sólido limitado acima pelo paraboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Conteúdo: usar integral dupla sobre a região do plano
em que o paraboloide fica acima do plano, ou seja
Conteúdo: usar integral dupla sobre a região
Passo 2
Escrevemos o volume como
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade de
:
Esse é um cilindro elíptico em
-plano com contorno quadrático.
Passo 4
Para facilitar, fazemos a rotação de
no plano, definindo
Em termos de
tem-se
logo o integrando vira
E a região
é
Passo 5
Agora parametrizamos essa elipse por
O jacobiando é
. Além disso
de onde o integrando fica
. Assim
Usando um CAS para checar a integral dupla original, confirma-se
.