Use uma integral dupla e um CAS para calcular o volume do sólido.
O sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelos planos coordenados.
O sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide
Passo 1
O exercício quer o volume do sólido no primeiro octante limitado por z= x²+y², pelo cilindro x²+y²=4 e pelos planos coordenados. Vamos usar uma integral dupla para calcular o volume, aplicando a fórmula de volume abaixo da superfície z=f(x,y).
Passo 2
Para achar o volume sob a superfície z=x²+y² acima do plano z=0 e dentro da projeção D no plano xy, usamos
Aqui D é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x²+y²=4.
Passo 3
Como D tem simetria circular e está no primeiro quadrante, passamos a coordenadas polares:
Os limites tornam-se 0≤r≤2 e 0≤θ≤π/2. A integral fica
Passo 4
Agora integramos em r primeiro:
Em seguida em θ: