Use uma integral dupla e um CAS para calcular o volume do sólido.
O sólido no primeiro octante limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos coordenados.

Passo 1

O exercício quer o volume do sólido no primeiro octante limitado por z= x²+y², pelo cilindro x²+y²=4 e pelos planos coordenados. Vamos usar uma integral dupla para calcular o volume, aplicando a fórmula de volume abaixo da superfície z=f(x,y).

Passo 2

Para achar o volume sob a superfície z=x²+y² acima do plano z=0 e dentro da projeção D no plano xy, usamos
V=integral duplaD (x^2+y^2),dA
Aqui D é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x²+y²=4.

Passo 3

Como D tem simetria circular e está no primeiro quadrante, passamos a coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta
Os limites tornam-se 0≤r≤2 e 0≤θ≤π/2. A integral fica
V=integral0^pi/2integral0^2 (r^2),(r,dr,dtheta)=integral0^pi/2integral0^2 r^3,dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r primeiro:
integral0^2 r^3,dr=gl[r^44gr]0^2=2^44=164=4
Em seguida em θ:
V=integral0^pi/24,dtheta=4l[thetar]0^pi/2=4cdotpi2=2pi

Resposta

2pi

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