Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
y=ln (x) ; x y^prime prime-y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função y = ln(x) é uma solução da equação diferencial dada por x y'' - y' = 0 .
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de uma função. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de y , substituir na equação e ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de y . Sabemos que y = ln(x) , então:
y' = ddx ln(x) = 1x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y :
y'' = ddx y' = ddx ( 1x ) = -1x^2

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituir y' e y'' na equação diferencial x y'' - y' = 0 :
x ( -1x^2 ) - ( 1x ) = 0

Passo 5

Vamos simplificar a expressão acima:
- xx^2 - 1x = -1x - 1x = -2x

Passo 6

A expressão resultante é -2x . Para a função y = ln(x) ser uma solução da equação diferencial, essa expressão deveria ser igual a zero. Porém, -2x neq 0 para qualquer x neq 0 .

Resposta

A função y = ln(x) não é uma solução da equação diferencial x y'' - y' = 0 .

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