Demonstre as seguintes identidades supondo que S e V satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
integral duplaS(f nabla g) cdot n d s=integral triplaV(f nabla^2 g+nabla f cdot nabla g) d V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema da Divergência de Gauss em V com fronteira S, vale
integral duplaSl(f,nabla gr)cdotvec n,ds = integral triplaVl(f,nabla^2g + nabla fcdotnabla gr),dV
O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência aplicado a um campo vetorial e a regra do produto para divergência.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F = f,nabla g
Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaS Fcdotvec n,ds = integral triplaVnablacdot F,dV

Passo 3

Calculamos a divergência de F usando a regra do produto:
nablacdotl(f,nabla gr) = (nabla f)cdot(nabla g) + f,(nablacdotnabla g)
Como nablacdotnabla g=nabla^2g, segue
nablacdotl(f,nabla gr) = nabla fcdotnabla g + f,nabla^2g

Passo 4

Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência, obtemos
integral duplaS(f,nabla g)cdotvec n,ds = integral triplaVl(nabla fcdotnabla g + f,nabla^2gr),dV

Resposta

integral duplaS(f,nabla g)cdotvec n,ds = integral triplaVl(f,nabla^2g + nabla fcdotnabla gr),dV

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