Demonstre as seguintes identidades supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema de Gauss e que as funções e os campos envolvidos sejam diferenciáveis.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sob as hipóteses do Teorema da Divergência de Gauss em
com fronteira
, vale
O conteúdo envolvido é o Teorema da Divergência aplicado a um campo vetorial e a regra do produto para divergência.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Pelo Teorema da Divergência,
Passo 3
Calculamos a divergência de
usando a regra do produto:
Como
, segue
Passo 4
Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência, obtemos