Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $ é uma solução da equação diferencial $ y y’ - x = 0 $. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que são equações que envolvem uma função desconhecida e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ e substituir na equação para ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $. Sabemos que:
Para derivar essa função, usamos a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta. A regra diz que se $ y = [f(x)]^{n} $, então:
Aplicando isso:
Então, a derivada de $ y $ é:
Passo 3
Agora que temos $ y $ e $ y’ $, vamos substituir esses valores na equação diferencial $ y y’ - x = 0 $.
Primeiro, calculamos $ y y’ $:
Então, substituindo na equação:
Passo 4
A equação resultante foi $ -2x = 0 $. Para essa igualdade ser verdadeira para todo $ x $, precisaríamos que $ -2x $ fosse sempre zero, o que só acontece quando $ x = 0 $.
No entanto, queremos que a equação diferencial seja válida para todos os valores de $ x $ no domínio da função $ y $, que é $ |x| \leq 1 $. Como $ -2x $ não é igual a zero para todo $ x $ nesse intervalo (exceto em $ x = 0 $), concluímos que a função $ y $ não satisfaz a equação diferencial dada para todos os $ x $.
Resposta
Não, a função $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $ não é uma solução da equação diferencial $ y y’ - x = 0 $.