Determine se a função fornecida é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo e no que precisamos para resolvê-lo.
Aqui, queremos saber se a função $ f(x) = \sqrt{x} $ é uma solução da equação diferencial $ x \frac{df(x)}{dx} - f(x) = 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função $ f(x) $ e depois substituir tanto a função quanto sua derivada na equação diferencial para ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ f(x) = \sqrt{x} $.
Sabemos que $ \sqrt{x} $ pode ser escrita como $ x^{1/2} $. A regra de derivação para $ x^n $ é:
Aplicando essa regra:
Passo 3
Agora que temos a derivada de $ f(x) $, vamos substituir $ f(x) $ e $ f’(x) $ na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Então, a equação fica:
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Para que a equação seja igual a zero, precisamos que:
Isso só é possível se $ \sqrt{x} = 0 $, ou seja, $ x = 0 $.
Passo 6
No entanto, a solução $ x = 0 $ é apenas um ponto específico. Para a função $ f(x) = \sqrt{x} $ ser uma solução geral da equação diferencial, a igualdade deve valer para todos os valores de $ x $ no domínio da função.
Como a igualdade só é válida em $ x = 0 $ e não para outros valores de $ x $, concluímos que $ f(x) = \sqrt{x} $ não é uma solução da equação diferencial dada.
Resposta
A função $ f(x) = \sqrt{x} $ não é uma solução da equação diferencial $ x \frac{df(x)}{dx} - f(x) = 0 $.