Demonstre que as seguintes matrizes não são diagonalizáveis:
A_{1}=\left[\begin{array}{cc} -3 & -3 \\\\ 1 & -3 \end{array}\right] \quad A_{2}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A_{1}=\begin{pmatrix} -3 & -3\\\\ 1 & -3 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
não são diagonalizáveis (no corpo dos reais). Para isso vamos usar o critério de diagonalização: uma matriz real é diagonalizável em \mathbb{R} se e somente se suas raízes do polinômio característico estão em \mathbb{R} e, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica.

Passo 2

Analisando A_{1}.
O polinômio característico é
p_{1}(\lambda)=\det\bigl(A_{1}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} -3-\lambda & -3\\\\ 1 & -3-\lambda \end{pmatrix} =( -3-\lambda)^2 -(-3)\cdot1 =(\lambda+3)^2+3.
As raízes são
(\lambda+3)^2=-3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda+3=\pm i\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-3\pm i\sqrt{3},
que não são reais. Logo A_{1} não tem autovalores em \mathbb{R} e, portanto, não pode ser diagonalizada sobre \mathbb{R}.

Passo 3

Analisando A_{2}.
O polinômio característico é
p_{2}(\lambda)=\det\bigl(A_{2}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^3.
Temos um único autovalor \lambda=1 de multiplicidade algébrica 3. Vamos achar a dimensão do espaço próprio associado a \lambda=1.
A_{2}-I =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e o sistema (A_{2}-I)x=0 impõe
x_{2}=0, \quad x_{3}=0, \quad x_{1}\text{ livre}.
Logo a solução geral é x=(x_{1},0,0)^T e a dimensão do espaço próprio é 1. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (3), concluímos que A_{2} não é diagonalizável.

Resposta

As duas matrizes não são diagonalizáveis sobre \mathbb{R}.

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