Sejam:
V=\left\langle\left(\begin{array}{l} 3 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\\\ 6 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)\right\rangle \quad \underline{v}=\left(\begin{array}{c} 5 \\\\ -5 \\\\ 1 \\\\ -7 \end{array}\right)
Encontre a projeção ortogonal de \underline{v} em V calculando uma base de V^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
V=\Bigl\langle v_1,\;v_2\Bigr\rangle,\quad v_1=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\;v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 6\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},
e o vetor
\underline v=\begin{pmatrix}5\\\ -5\\\ 1\\\ -7\end{pmatrix}.
Queremos \emph{proj} _V(\underline v). Vamos usar que
\underline v = \text{proj}_V(\underline v) \;+\;\text{proj}_{V^\perp}(\underline v)
e obter uma base de V^\perp resolvendo os produtos internos v_i\cdot x=0.

Passo 2

Para achar V^\perp, resolvemos
v_1\cdot x=3x_1+0x_2+x_3+x_4=0,
v_2\cdot x=0x_1+6x_2+x_3+x_4=0.
Dessas equações segue 3x_1 = - (x_3+x_4) e 6x_2 = - (x_3+x_4), logo 3x_1=6x_2, ou seja x_1=2x_2.
Escolhendo parâmetros s=x_2 e t=x_3, obtemos
x_4 = -6s - t,
de onde
x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Assim uma base de V^\perp é
u_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix},\quad u_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos os coeficientes de projeção em V^\perp:
c_1 = \frac{\underline v\cdot u_1}{u_1\cdot u_1} = \frac{2\cdot5 + 1\cdot(-5) + 0\cdot1 +(-6)\cdot(-7)}{2^2+1^2+0+(-6)^2} = \frac{47}{41},
c_2 = \frac{\underline v\cdot u_2}{u_2\cdot u_2} = \frac{0+0+1\cdot1 +(-1)\cdot(-7)}{0+0+1+1} = \frac{8}{2}=4.

Passo 4

A parte em V^\perp é
\text{proj}_{V^\perp}(\underline v) = c_1\,u_1 + c_2\,u_2 = \frac{47}{41}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix} +4\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{94}{41}\\[3pt]\tfrac{47}{41}\\[3pt]4\\[3pt]-\tfrac{446}{41}\end{pmatrix}.
Então a projeção em V é
\text{proj}_V(\underline v) = \underline v - \text{proj}_{V^\perp}(\underline v) = \begin{pmatrix}5\\\ -5\\\ 1\\\ -7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac{94}{41}\\[3pt]\tfrac{47}{41}\\[3pt]4\\[3pt]-\tfrac{446}{41}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{111}{41}\\[3pt]-\tfrac{252}{41}\\[3pt]-3\\[3pt]\tfrac{159}{41}\end{pmatrix}.
Para escrever tudo com denominador 41, note que -3 = -\tfrac{123}{41}.]

Resposta

\text{proj}_V(\underline v) = \frac{1}{41} \begin{pmatrix} 111\\\\ -252\\\\ -123\\\\ 159 \end{pmatrix}.

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