Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se
é invertível, então existe um polinômio
tal que
;
Dica: Dizemos que duas matrizes
são semelhantes se existir uma matriz
invertível tal que
.
Dica: Dizemos que duas matrizes
Passo 1
O enunciado afirma que, para um operador linear invertível
, existe um polinômio
com coeficientes reais tal que
O conteúdo usado será o Teorema de Cayley–Hamilton, que garante que toda matriz quadrada satisfaz seu polinômio característico.
Passo 2
Seja
o polinômio característico de
. Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, vale
Como
é invertível, temos
e, portanto,
Passo 3
Multiplicando a igualdade
à direita por
, obtemos
Isolando
, resulta
Logo, definindo
temos exatamente
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.