Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
Se T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{n}\right) é invertível, então existe um polinômio p(x) tal que T^{-1}=p(T);
Dica: Dizemos que duas matrizes A, B \in M_{n \times n} são semelhantes se existir uma matriz P \in M_{n \times n} invertível tal que A=P^{-1} B P.

Passo 1

O enunciado afirma que, para um operador linear invertível T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, existe um polinômio p(x) com coeficientes reais tal que
T^{-1}=p(T).
O conteúdo usado será o Teorema de Cayley–Hamilton, que garante que toda matriz quadrada satisfaz seu polinômio característico.

Passo 2

Seja
\chi_T(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0
o polinômio característico de T. Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, vale
\chi_T(T)=T^n+a_{n-1}T^{n-1}+\cdots+a_1T+a_0I=0.
Como T é invertível, temos \det(T)\neq0 e, portanto,
a_0 = (-1)^n\det(T)\neq0.

Passo 3

Multiplicando a igualdade \chi_T(T)=0 à direita por T^{-1}, obtemos
T^{n-1}+a_{n-1}T^{n-2}+\cdots+a_1I + a_0\,T^{-1}=0.
Isolando T^{-1}, resulta
T^{-1} = -\frac{1}{a_0}\bigl(T^{n-1}+a_{n-1}T^{n-2}+\cdots+a_1I\bigr).
Logo, definindo
p(x)=-\frac{1}{a_0}\bigl(x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1\bigr),
temos exatamente T^{-1}=p(T).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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