Verifique que a seguinte matriz é diagonalizável, escreva uma matriz diagonal semelhante e uma matriz de mudança de base correspondente.
A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 3 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 \\\\ -1 & 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix}
é diagonalizável, ou seja, que existe uma base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores de A. Em seguida, queremos exibir uma matriz diagonal D semelhante a A e a correspondente matriz de mudança de base P tal que
D = P^{-1}A\,P.
Para isso vamos (1) achar os autovalores de A, (2) calcular os autovetores de cada autovalor e (3) montar P com esses autovetores e D com os autovalores na diagonal.

Passo 2

Como
A=\begin{pmatrix} A_{11}&0\\[6pt] A_{21}&A_{22} \end{pmatrix},
com
A_{11}=\begin{pmatrix}3&2\\\ 0&5\end{pmatrix}, \quad A_{22}=\begin{pmatrix}5&1\\\ 0&3\end{pmatrix},
os autovalores de A são os autovalores de A_{11} e de A_{22}, a saber
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=5
cada um com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)x=0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 2x_2=0,\\\\ 2x_2=0,\\\\ -x_1+2x_2+2x_3+x_4=0,\\\\ -2x_2=0. \end{cases}
Daí x_2=0\] e \(-x_1+2x_3+x_4=0, ou seja x_1=2x_3+x_4. Tomando parâmetros a=x_3 e b=x_4, os autovetores são
x=\begin{pmatrix}2a+b\\\ 0\a\b\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo há dois autovetores linearmente independentes para \lambda=3.

Passo 4

Para \lambda=5\) resolvemos \((A-5I)x=0\). O sistema é \[\begin{cases} -2x_1+2x_2=0,\\\\ 0=0,\\\\ -x_1+2x_2+x_4=0,\\\\ -2x_2-2x_4=0. \end{cases}
Da primeira equação x_1=x_2\]. Das outras vem \(x_4=-x_2, e x_3 é livre. Tomando t=x_2 e s=x_3,
x=t\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Assim também temos dois autovetores independentes para \lambda=5.

Passo 5

Como achamos 2 autovetores para \lambda=3 e 2 para \lambda=5, a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à algébrica, e A é diagonalizável. Escolhemos como colunas de P os autovetores
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\; v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \quad(\lambda=3), \qquad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\; v_4=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad(\lambda=5).
Na base (v_1,v_2,v_3,v_4), a matriz de A fica diagonal com entradas os autovalores.

Resposta

A matriz diagonal semelhante é
D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},
e uma matriz de mudança de base correspondente é
P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{pmatrix},
de modo que D = P^{-1}A\,P.

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