Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a função linear:
f\binom{x}{y}=\binom{-x-2 y}{2 x-4 y}
Calcule a matriz representativa de f em relação à base \{(1,1),(-3,-2)\} de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad f\binom{x}{y}=\binom{-x-2y}{2x-4y}
e a base B=\{b_1=(1,1),\,b_2=(-3,-2)\}. Para achar a matriz de f em relação a B, precisamos calcular f(b_1) e f(b_2) e, em seguida, expressar cada imagem como combinação linear de b_1 e b_2. Esses coeficientes formam as colunas da matriz buscada.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(b_1)=f(1,1)=\bigl(-1-2,\;2-4\bigr)=(-3,-2).
Como (-3,-2)=b_2, temos
f(b_1)=0\cdot b_1+1\cdot b_2,
isto é, as coordenadas de f(b_1) na base B são \bigl[0,\,1\bigr]^T.

Passo 3

Agora
f(b_2)=f(-3,-2)=\bigl(-(-3)-2\cdot(-2),\;2\cdot(-3)-4\cdot(-2)\bigr)=(7,2).
Procuramos a,c\) tais que \[a\,b_1+c\,b_2=(7,2) \quad\Longleftrightarrow\quad a(1,1)+c(-3,-2)=(7,2).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a-3c=7,\\\ a-2c=2. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos -c=5\], logo \(c=-5. Então a-3(-5)=7 a=-8. Assim
f(b_2)=-8\,b_1-5\,b_2,
e as coordenadas de f(b_2) em B são \bigl[-8,\,-5\bigr]^T.

Passo 4

A matriz de f na base B tem como colunas as coordenadas de f(b_1) e f(b_2). Logo,
[f]_B =\begin{pmatrix} 0 & -8\\\\ 1 & -5 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & -8\\\\ 1 & -5 \end{pmatrix}

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