Demonstre que os seguintes números são irracionais:
4(1-raiz[5]17)9

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
4l(1 - raiz[5]17r)9
é irracional. Vamos usar prova por contradição e o fato de que raiz[5]17 não pode ser racional (teste da raiz racional).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que
4l(1 - raiz[5]17r)9
seja racional. Então existe rinQ tal que
4l(1 - raiz[5]17r)9 = r
Multiplicando ambos os lados por 9/4, obtemos
1 - raiz[5]17 = 94,r Longrightarrow raiz[5]17 = 1 - 94,r in Q
Logo, sob essa suposição, raiz[5]17 seria racional.

Passo 3

Mostramos agora que raiz[5]17 é irracional. Suponha que
raiz[5]17 = ab,
com a,binZ, bneq0 e gcd(a,b)=1. Elevando à quinta potência:
17 = l(abr)^5 Longrightarrow a^5 = 17,b^5
Daí 17mid a^5, logo 17mid a. Escreva a=17k. Substituindo:
(17k)^5 = 17,b^5 Longrightarrow 17^5,k^5 = 17,b^5 Longrightarrow 17^4,k^5 = b^5 Longrightarrow 17mid b^5 Longrightarrow 17mid b
Isso contradiz gcd(a,b)=1. Portanto raiz[5]17notinQ.

Passo 4

Como a hipótese de que 4(1-raiz[5]17)9 é racional leva a concluir que raiz[5]17 seria racional, o que é impossível, concluímos que
4l(1 - raiz[5]17r)9
é irracional.

Resposta

O número 4(1-raiz[5]17)9 é irracional.

Exercícios relacionados