Demonstre que os seguintes números são irracionais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é irracional. Vamos usar prova por contradição e o fato de que
não pode ser racional (teste da raiz racional).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existe
tal que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Logo, sob essa suposição,
seria racional.
Passo 3
Mostramos agora que
é irracional. Suponha que
com
,
e
. Elevando à quinta potência:
Daí
, logo
. Escreva
. Substituindo:
Isso contradiz
. Portanto
.
Passo 4
Como a hipótese de que
é racional leva a concluir que
seria racional, o que é impossível, concluímos que
é irracional.
Resposta
O número
é irracional.