Entre quais números inteiros consecutivos se encontram os seguintes números reais:
Passo 1
O enunciado pede para localizar, em quais inteiros consecutivos, cai o número
Vamos usar técnicas de confronto (desigualdades) para achar limites inferiores e superiores desse valor e, assim, ver se ele fica entre 2 e 3, entre 3 e 4, etc.
Passo 2
Estimar
. Como
temos
Passo 3
Estimar
. Note que
e, usando
segue
Passo 4
Agora vamos determinar limites para a diferença
.
Para mostrar
, reescrevemos
e elevamos ao quadrado (mantendo o sentido pois tudo é positivo):
Mas
logo
Isso prova
, ou seja
e, portanto,
Para mostrar
basta notar que
e
, então
Juntando, temos