Entre quais números inteiros consecutivos se encontram os seguintes números reais:
raiz29-raiz[4]32

Passo 1

O enunciado pede para localizar, em quais inteiros consecutivos, cai o número
raiz29-raiz[4]32
Vamos usar técnicas de confronto (desigualdades) para achar limites inferiores e superiores desse valor e, assim, ver se ele fica entre 2 e 3, entre 3 e 4, etc.

Passo 2

Estimar raiz29. Como
5,3^2 =28,09 <29<29,16 =5,4^2,
temos
5,3<raiz29<5,4

Passo 3

Estimar raiz[4]32=2^5/4. Note que 2^5/4=2cdot2^1/4 e, usando
1,18^2=1,3924<2<1,19^2=1,4161,
segue
1,18<2^1/4<1,19 Longrightarrow 2,36<2^5/4<2,38

Passo 4

Agora vamos determinar limites para a diferença D=raiz29-2^5/4.
Para mostrar D>3, reescrevemos
raiz29>3+2^5/4
e elevamos ao quadrado (mantendo o sentido pois tudo é positivo):
29>(3+2^5/4)^2 =9+6cdot2^5/4+2^5/2
Mas
2^5/2=4raiz2, raiz2<1,4143,
6cdot2^5/4<6cdot2,38=14,28,
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9+6cdot2^5/4+2^5/2 <9+14,28+4cdot1,4143 =9+14,28+5,6572 =28,9372<29
Isso prova 29>(3+2^5/4)^2, ou seja raiz29>3+2^5/4 e, portanto,
raiz29-2^5/4>3
Para mostrar D<4 basta notar que raiz29<6 e 2^5/4>2, então
raiz29-2^5/4<6-2=4
Juntando, temos
3<raiz29-raiz[4]32<4

Resposta

raiz29-raiz[4]32 está entre os inteiros 3 e 4.

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