Demonstre que os seguintes números são irracionais:
raiz[4]3-raiz7

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o número
raiz[4]3-raiz7
é irracional. Vamos usar prova por contradição: supondo que esse número seja racional e manipular expressões algébricas com radicais até chegar a uma impossibilidade aritmética.

Passo 2

Suponha, por contradição, que
raiz[4]3-raiz7=rinQ
Então
raiz[4]3=r+raiz7
Se r=0, temos raiz[4]3=raiz7. Elevando ambos os lados à quarta potência:
3 = (raiz7)^4 = 7^2 = 49,
o que é absurdo. Logo rneq0.

Passo 3

Como rneq0, elevamos raiz[4]3=r+raiz7 ao quadrado:
raiz3 = (r+raiz7)^2 = r^2 + 7 + 2r,raiz7 Longrightarrow 2r,raiz7 = raiz3 - (r^2+7)
Agora elevamos essa última igualdade ao quadrado:
4r^2cdot7 = l(raiz3 - (r^2+7)r)^2 = 3 + (r^2+7)^2 - 2(r^2+7),raiz3
Isolando o termo com raiz3:
2(r^2+7),raiz3 = 3 + (r^2+7)^2 - 28,r^2,
o lado direito é racional, mas raiz3 é irracional. A única forma de um múltiplo de raiz3 ser racional é fazer o coeficiente zero:
r^2+7 = 0,
o que não tem solução real (muito menos racional). Isso contradiz a hipótese rinQ.

Resposta

Concluímos que não existe rinQ tal que raiz[4]3-raiz7=r. Portanto
raiz[4]3-raiz7
é irracional.

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