Demonstre que os seguintes números são irracionais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o número
é irracional. Vamos usar prova por contradição: supondo que esse número seja racional e manipular expressões algébricas com radicais até chegar a uma impossibilidade aritmética.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
Então
Se
, temos
. Elevando ambos os lados à quarta potência:
o que é absurdo. Logo
.
Passo 3
Como
, elevamos
ao quadrado:
Agora elevamos essa última igualdade ao quadrado:
Isolando o termo com
:
o lado direito é racional, mas
é irracional. A única forma de um múltiplo de
ser racional é fazer o coeficiente zero:
o que não tem solução real (muito menos racional). Isso contradiz a hipótese
.
Resposta
Concluímos que não existe
tal que
. Portanto
é irracional.