Entre quais números inteiros consecutivos se encontram os seguintes números reais:
raiz52+raiz73

Passo 1

O enunciado pede para achar entre quais inteiros consecutivos está o número
x = raiz52 ;+;raiz73
O conteúdo aqui é manipular desigualdades com raízes quadradas para mostrar que
1 < x < 2

Passo 2

Mostramos primeiro que x>1. Como raiz5>2, temos
raiz52 > 22 = 1
e raiz73>0. Logo
x = raiz52 + raiz73 > 1 + 0 = 1

Passo 3

Agora mostramos que x<2. Reescrevendo
x<2 Long<=ftrightarrow raiz52 + raiz73 < 2 Long<=ftrightarrow 3raiz5 + 2raiz7 < 12
Como 3raiz5+2raiz7>0, podemos elevar ao quadrado sem inverter a desigualdade:
(3raiz5 + 2raiz7)^2 < 12^2 = 144
Expandindo o quadrado:
(3raiz5)^2 + 2cdot(3raiz5)(2raiz7) + (2raiz7)^2 = 9cdot5 + 12raiz35 +4cdot7 = 45 +28 +12raiz35 = 73 +12raiz35
Queremos ver que 73+12raiz35<144, isto é,
12raiz35 < 144 - 73 = 71 Long<=ftrightarrow raiz35 < 7112
Para isso note que
raiz35 = raiz36 - 1 < 6 - 12cdot6 = 6 - 112 = 7112,
pela desigualdade raiza - de<a<raiza-de<a2raiza.
Portanto 12raiz35<71 e segue que (3raiz5+2raiz7)^2<144, ou seja,
3raiz5+2raiz7<12 Longrightarrow x<2

Passo 4

Concluímos que
1 < x < 2,
logo x está entre os inteiros consecutivos 1 e 2.

Resposta

Entre 1 e 2.

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